1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。

5．高考考点分析

近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。

4.解答三角高考题的策略。

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

1.三角函数恒等变形的基本策略。

(1)注意隐含条件的应用：1＝cos2x+sin2x。

(2)角的配凑。α＝(α+β)－β，β＝－等。

(3)升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。

(4)化弦(切)法，用正弦定理或余弦定理。

(5)引入辅助角。asinθ+bcosθ＝sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝确定。

考点一：三角函数的概念

[内容解读]三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。

[命题规律]在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。

例1、(2008北京文)若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为　　　.

解：

点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。

考点二：同角三角函数的关系

[内容解读]同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。

[命题规律]在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。

例2、(2008浙江理)若则=(　　 )

　　 (A)　　　 (B)2　　　　 (C)　　　　　 (D)

解：由可得：由，

又由，可得：+()2＝1

可得＝－，＝－，

所以，＝＝2。

　点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：，与它联系成方程组，解方程组来求解。

例3、(2007全国卷1理1)是第四象限角，，则(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

解：由，所以，有，是第四象限角，

解得：

点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：，同样要能想到隐含条件：。

考点三： 诱导公式

[内容解读]诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中+α的整数k来讲的，象限指+α中，将α看作锐角时，+α所在象限，如将cos(+α)写成cos(+α)，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又+α看作第四象限角，cos(+α)为“+”，所以有cos(+α)=sinα。

[命题规律]诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。

例4、(2008陕西文)　 等于(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

解：＝

点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。

答案：

例5、(2008浙江文)若　　 　　 　　.

解：由可知，；而。

点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。

考点四：三角函数的图象和性质

[内容解读]理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在(-，)的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数的图象，并理解它的性质：

　(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

　(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；

(3)函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期。

注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。

[命题规律]主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。

例6、(2008天津文)设，，，则(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　　 D．

解：，因为，所以，选D．

点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，］，［， ］的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。

例7、(2008山东文、理)函数的图象是(　　 )

解： 是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.

点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。

例8、(2008天津文)把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　 )

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解：

y=，故选(C)。

点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。

例9、(2008浙江理)在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是(　 　 )

(A)0　　　　 (B)1　　　　 (C)2　　　　　 (D)4

解：原函数可化为：

　=作出原函数图像，

截取部分，其与直线的交点个数是2个.

点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。

考点五：三角恒等变换

[内容解读]经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。

[命题规律]主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。

例10、(2008惠州三模)已知函数

(I)求函数的最小正周期； (II)求函数的值域.

解：

　　　　 　(I)

　　(II)∴　　∴　∴　

　　所以的值域为：　

点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

例11、(2008广东六校联考)已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．

(1)求

(2)设函数+，求函数的最值及相应的的值。

解：(I)由已知条件： ， 得：

　 (2)

　　　 ，因为：，所以：

所以，只有当： 时， ， ，或时，

　点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。

例12、(2008北京文、理)已知函数的最小正周期为π.

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.

解：(Ⅰ)

=

=

　　　　　　 因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以

　　　　　　　　 解得ω=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

因为0≤x≤，

所以≤≤

所以≤≤1.

因此0≤≤，即f(x)的取值范围为[0，]

点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。

考点六：解三角形

[内容解读]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。

解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。

[命题规律]本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。

例13、(2008广东五校联考)在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

(1)求tanC的值;　　　　　　　 (2)若⊿ABC最长的边为1，求b。

解：(1)B锐角,

且,,

(2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1,

　,

由正弦定理:得。

点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。

例14、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE。

解：(Ⅰ)因为，，

所以．

所以．

(Ⅱ)在中，，

由正弦定理．

故

　点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45度，30度，60度，推导15度，75度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。

例15、(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

(I)求该船的行驶速度(单位：海里/小时);

(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解: (I)如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为(海里/小时).

(II) 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B(x1，y2), C(x1，y2),

BC与x轴的交点为D.

由题设有，x1=y1= AB=40,

x2=ACcos,

y2=ACsin

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E(0，-55)到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

　点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。

(三)正弦型函数的图象变换方法如下：

先平移后伸缩

　的图象

得的图象

得的图象

得的图象

得的图象．

先伸缩后平移

的图象

得的图象

得的图象

得的图象得的图象．

5、解三角形

Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理(是外接圆直径)

注：①；②；③。

⑵余弦定理：等三个；注：等三个。

Ⅱ。几个公式:

⑴三角形面积公式：；

⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，

Ⅲ．已知时三角形解的个数的判定：

其中h=bsinA,

⑴A为锐角时：

①a<h时，无解；

②a=h时，一解(直角)；③h<a<b时，两解(一锐角，一钝角)；④a b时，一解(一锐角)。

⑵A为直角或钝角时：①a b时，无解；②a>b时，一解(锐角)。

(二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．

⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式时处相的确定方法：代(最高、低)点法、公式.

(一)列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：

⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；

⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

的对称轴是，对称中心是；

的对称轴是，对称中心是

的对称中心是

注意加了绝对值后的情况变化.

⑷写单调区间注意.