2、含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法

1、含绝对值不等式的解法的基本思想是设法去掉绝对值符号

常用方法是(1)利用；(2)由定义分段去绝对值；(3)平方法；(4)数形结合法等。

[例1]解关于的不等式：

(1);　 　(2)

解：(1)法一：原不等式

①或②

由①解得，由②解得

∴原不等式的解集是

法二：原等式等价于

∴原不等式的解集是

法三：设，由解得

，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使的的范围是，

∴原不等式的解集是

　(2)当x≥a时,不等式可化为

当x<a时,不等式可化为

。

✿提炼方法：题(1)法2比较简单,其转化也不要求x+3>0.

题(2)的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

[例2](1)已知a≠0，求证：≥

(2)求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；

(3)已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范围.

证明(1)：当|a|≤|b|时，不等式显然成立

　　 当|a|>|b|时，

　左=≥

≥=.

另法:当

当,显然成立.

(2)解：∵||＞1|1－abλ|²－|aλ－b|²

=(a²λ²－1)(b²－1)＞0.

∵b²＜1，∴a²λ²－1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立.

当a=0时，a²λ²－1＜0成立；

当a≠0时，要使λ²＜对于任意满足|a|＜1的a恒成立，

而＞1，∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.

(3)||＜1()²＜1

(a+b)²＜(1+ab)²a²+b²－1－a²b²＜0

(a²－1)(b²－1)＜0.

∵|a|＜1，∴a²＜1.∴1－b²＞0，即－1＜b＜1.

[例3]

所以，原命题得证

[例4]设a，b∈R，关于x方程x²+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：

|α|<1，|β|<1。

解题思路分析：

在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。

法一：令f(x)=x²+ax+b

则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0

　 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0

又∵ 0|a|≤|a|+|b|<1

∴ -1<a<1　 ∴

∴ f(x)=0的两根在(-1，1)内，即|α|<1，|β|<1

法二：∵α+β=-a，αβ=b

∴ |α+β|+|αβ|=|a|+|b|<1

∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1

∴(|α|-1)(|β|+1)<0

∵ |β|+1>0　 ∴ |α|<1. 同理：|β|<1

◆提炼方法：适度放缩是处理绝对值不等式的常用技巧，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。

[研讨.欣赏] (2002 江苏)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx．

(1)当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)1，证明a2；

(2)当b>1时，证明对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件是b－1a2；

(3)当0<b1时，讨论：对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件．

证明：⑴对已知二次函数应用配方法，得，当x∈R时，f(x)＝ ，于是，对任意x∈R都有f(x)1f(x)＝1 a2．

⑵用f(x)、f(x)表示f(x)在[0，1]上的最大值、最小值，则对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1当且仅当　　 (*)

而　　 f(x)＝－b(x－+，(x[0，1])

当2b时，0<1，f(x)＝ ，f(x)＝f(0)或f(1)；

当2b<a时，>1， f(x)＝ f(1)，f(x)＝f(0)．

于是(*)　 或

b－1a2或xb－1a2．

故对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件是b－1a2．

(3)　由(2)的解答知，对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1当且仅当

　　　 或

0<a2b或2b<ab+1 0<ab+1．

故当0<b1时，对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件为0<ab+1．

点评：含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一．在备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，反复思考参数的处理艺术．

6.不等式的解集是___________

简答:1-4.CDAD;　 5. {x|x≥－1};　 6.

5．(2004年全国卷I)不等式|x+2|≥|x|的解集是　　　　 .

4. (2004全国IV)不等式的解集为　　　　　　　 (　 )

　　　　　　　　　 A．　 B．　 C．　　 D．

3.(2006北京)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有(　 )

A.　　　　　　 B.

C.　　　　　 D.

2．(2004福建)命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；

　 命题q：函数y=的定义域是(－∞，－1∪[3，+∞.则(　 )

　　　　　　　　　 A．“p或q”为假　　 　　B．“p且q”为真　

　　　　　　　　　　　 C．p真q假　　 D．p假q真

1.(2006江苏) 设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　 )

A.　　　 B.

C.　　　D.

3. 解绝对值不等式的基本思想:去绝对值符号;具体方法有:

,　

一般地:

(3)分段去绝对值，找出零点,分段求解。

(4)数形结合.