⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和

，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题

意，可得ξ的分布列为

ξ	0	5	25	100
P

　 　 答：一张彩票的合理价格是0．2元．

5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

其中ξ_A、ξ_B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

　 分析： 两个随机变量ξ_A和ξ_B&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξ_A取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξ_B取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较ξ_A与ξ_B的期望值，因为

　　 Eξ_A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

　　 　　 Eξ_B=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

　　 　　 Dξ_A=(110-125)²×0.1+(120-125) ² ×0.2+(130-125) ²×0.1+(135-125) ²×0.2=50，

　　 　　 Dξ_B=(100-125)²×0.1+(110-125) ² ×0.2+(130-125) ²×0.1+(145-125) ²×0.2=165.

所以，Dξ_A < Dξ_B.因此，A种钢筋质量较好

4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4

　　 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,

所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p

则 Dξ=(0-p)²×(1-p)+(1-p) ²×p=p(1-p)

3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB(200，1%)，从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB(200，1%)因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P(ξ=0)=

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P(ξ=1)=

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P(ξ=2)=

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P(ξ=3)=

所以，Eξ=

1.已知，则的值分别是(　　　 )

A．；　B．；　C．；　D．

答案：1.D 　

例1．设随机变量ξ的分布列为

ξ	1	2	…	n
P			…

求Dξ

　解：(略)

例2．已知离散型随机变量的概率分布为

	1	2	3	4	5	6	7
P

离散型随机变量的概率分布为

	3．7	3．8	3．9	4	4．1	4．2	4．3
P

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：；

；

；

=0.04, .

点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．

＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：

+(10-9)；

同理有

由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

　　　　　　　　 A机床　　　　　　　　　　　　　　　　　 B机床

问哪一台机床加工质量较好

解： Eξ₁=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

　　 　Eξ₂=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差

Dξ₁=(0-0.44)²×0.7+(1-0.44)²×0.2+(2-0.44)²

×0.06+(3-0.44)²×0.04=0.6064,

Dξ₂=(0-0.44)²×0.8+(1-0.44)²×0.06+(2-0.44)²

×0.04+(3-0.44)²×0.10=0.9264.

∴Dξ₁< Dξ₂　 故A机床加工较稳定、质量较好.

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

3.方差的性质：(1)；(2)；

(3)若ξ-B(n，p)，则np(1-p)