摘要：如图.给出了偶函数y = f (x)的局部图象.试比较f (1)与 f (3) 的大小. 例2 (1)设f (x)是偶函数.g (x)是奇函数.且f (x) + g (x) =.求函数f (x).g (x)的解析式, (2)设函数f (x)是定义在上的奇函数.又f (x)在上是减函数.且f (x)＜0.试判断函数F (x) =在上的单调性.并给出证明. 解析:(1)∵f (x)是偶函数.g (x)是奇函数. ∴f (–x) = f (x).g (– x) = –g (x). 由f (x) + g (x) = ① 用–x代换x得f (–x) + g (– x) =. ∴f (x) –g (x) =. ② (① + ②)÷2 = 得f (x) =, (① – ②)÷2 = 得g (x) =. (2)F (x)在是中增函数.以下进行证明: 设x1.x2?.且x1＜x2. 则△x = x2 – x1＞0且–x1.–x2?. 且–x1＞– x2. 则△(–x) = (–x2) – (–x1) = x1–x2 = –△x＜0. ∵f (x)在上是减函数.∴f (–x2) – f (–x1)＞0 ① 又∵f (x)在 上是奇函数.∴f (–x1) = – f (x1).f (–x2) = – f (x2). 由①式得 – f (x2) + f (x1) ＞0.即f (x1) – f (x2)＞0. 当x1＜x2＜0时.F (x2) – F (x1) =. 又∵f (x) 在上总小于0. ∴f (x1) = – f (–x1)＞0.f (x2) = – f (–x2)＞0.f (x1)·f (x2)＞0. 又f (x1) – f (x2)＞0.∴F (x2) – F (x1)＞0且△x = x2 – x1＞0. 故F (x) =在上是增函数.

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