78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．

(1)求证：面PCC₁⊥面MNQ；

(2)求证：PC₁∥面MNQ．

主要得分步骤：(1)AB⊥面PCC₁；　 　　　　　　　　　　　　　　4′

MN∥AB，故MN⊥面MNQ　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

MN在平面MNQ内，∴面PCC₁⊥面MNQ；　　　　　　　　　　　　　 7′

(2)连AC₁、BC₁，BC₁∥NQ，AB∥MN

面ABC₁∥面MNQ　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　11′

PC₁在面ABC₁内．

∴PC₁∥面MNQ．　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　13′

77、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD(如图2).

　 (Ⅰ)证明：平面PAD⊥PCD；

　 (Ⅱ)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC

把几何体分成的两部分；

　 (Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下，判断直线PD

是否平行面AMC.

(I)证明：依题意知：

　 　 　　　　　　　　　 …………2分

　 …4分

　 (II)由(I)知平面ABCD

　　 ∴平面PAB⊥平面ABCD.　　　　　　　 …………5分

　 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，

　　 设MN=h

　　 则

　　 　　　　　　 …………8分

　　 要使

　　 即M为PB的中点.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　 (Ⅲ)连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD

∴O不是BD的中心……………………10分

又∵M为PB的中点

∴在△PBD中，OM与PD不平行

∴OM所以直线与PD所在直线相交

又OM平面AMC

∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分

76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB= 4， AD =3， AA₁= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

(1)求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；

(2)求二面角C-DE-C₁的平面角的正切值．

解：以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的

正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、

D₁(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C₁(4，3，2)．

　　 于是，，．

(1)设EC₁与FD₁所成角为b，则．

(2)设向量与平面C₁DE垂直，则有

．

∴其中z＞0．

取n₀=(-1，-1，2)，则n₀是一个与平面C₁DE垂直的向量．

∵向量=(0，0，2)与平面CDE垂直，

∴n₀与所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角．

∵，∴．

50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

E是BC的中点。

(1)求异面直线AE与A₁C所成的角；

(2)若G为C₁C上一点，且EG⊥A₁C，试确定点G的位置；

(3)在(2)的条件下，求二面角A₁-AG-E的大小(文科求其正切值)。

解：(1)取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，则AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是异面直线AE与A₁C所成的角。设，则

中， 。

所以异面直线AE与A₁C所成的角为。　 ------------------4分

(2).由(1)知，A₁E₁⊥B₁C₁,又因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱

⊥BCC₁B₁,又EG⊥A₁C　 　CE₁⊥EG.

∠=∠GEC　 ~

即得

所以G是CC₁的中点　　　　　　 ---------------------------- --8分

(3)连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁　 EP⊥平面ACC₁A₁

而PQ⊥AG　 　EQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.

由EP=a,AP=a,PQ=,得

所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是π－arctan　 ------------------------12分

(文)二面角的平面角的正切值为－。------------------------12分

49、矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF=．

　 (Ⅰ)证明：AE 平面FCB；

　 (Ⅱ)求异面直线BD与AE所成角的余弦值

　 (Ⅲ)若M是棱AB的中点，在线段FD上是

否存在一点N，使得MN∥平面FCB？

证明你的结论．

解：(1) 平面ABCD平面ABEF,

且四边形ABCD与ABEF是矩形,

AD平面ABEF,ADAE,

BC∥AD BCAE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,

所以四边形ABEF为正方形.AEFB,

又BFBF平面BCF，BC平面BCF

所以AE平面BCF……………………………………………4分

(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH//BD,

HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),

在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=

异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分

(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB

证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，

则NG//FC,MG//BC,

又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G

所以平面NGM//平面FBC,

MN平面NGM

MN//平面FBC……………………………………………………………12分

48、(河北省正定中学高2008届一模)在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．(1)若为中点，求证：平面.

(2)求二面角A-PD-E的正弦值；(3)求点C到平面PDE的距离.

解(1)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE　 ………………………(4分)

(2)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．

过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．

在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．

∴二面角A-PD-E的正弦值为．　 　　　 …………………………………………..( 8分)

(3)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,　 BC=DE=2a,AB=AE=4a,

取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．

∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．

又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．

∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，　

∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．(或用等体积法求)…………(12分)

47、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图，在几何体中，面为矩形，面，

(1)求证；当时，平面PBD⊥平面PAC；

(2)当时，求二面角的取值范围。

以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设，由已知得

(1)当时，，

∴　 4分

∴，∴

又，∴平面PBD⊥平面PAC；　　　　　　　　　　　　　 6分

解法二：当时，矩形为正方形，∴

∵面，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

又，∴BD⊥平面PAC，BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC

(2)由

得

设平面PDC，∴

∴　　 不妨设，则

设平面PDB，∴

∴　 不妨设，则 10分

∴

当变化时，即，

又，∴

46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上。

(I)求证：平面平面；

(II)当为的中点时，求异面直线与所

　　 成角的大小；

(III)(理)求与平面所成角的最大值。

(文)当为的中点时，求与平面所成的角。

解：(I)由题意，，，是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，，又，

平面，又平面，平面平面．……4分

(II)解法一：作，垂足为，连结(如图)，则，

是异面直线与所成的角．

在中，，，．

又．在中，．

异面直线与所成角的大小为．……8分

解法二：建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，

．异面直线与所成角的大小为．……8分

(III)(理)由(I)知，平面，是与平面所成的角，

且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．……12分

(文)由(I)知，平面，是与平面所成的角，且＝45^o。……12分

45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

解:(1)(法一)∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。…………………………………………… 1分

则A(0，0，2)，B(2，0，0)，G(2，2，0)，D(0，2，2)，E(0，0，0)…………2分

(－2，2，2)，(2，2，0)…………………………………………………3分

(－2，2，2)(2，2，0)＝0，∴ ……………………………4分

(法二)作DH⊥EF于H，连BH，GH，……………1分

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。

又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。………………… 4分

(或者直接利用三垂线定理得出结果)

(2)∵AD∥面BFC，

所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x

………………………………………………………………………7分

即时有最大值为。…………………………………………………………8分

(3)(法一)设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B(2，0，0)，D(0，2，2)，

F(0，3，0),∴(－2，2，2), ………………………………9分

则 ，

即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴　

　面BCF的一个法向量为　　　　 ……………………………12分

则cos<>=　 …………………………………………13分

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－ ……………14分

(法二)作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。

由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。…………………………9分

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，

因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝，　 ………………………………13分

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。　　 ………………………………14分

44、(广东省四校联合体第一次联考) 　 如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点.

　 (1)求证：AB₁//面BDC₁；

　 (2)求二面角C₁-BD-C的余弦值；

　 (3)在侧棱AA­₁上是否存在点P，使得

CP⊥面BDC₁？并证明你的结论.

(1)连接B₁C，交BC₁于点O，则O为B₁C的中点，

　　　　 ∵D为AC中点　　 ∴OD∥B₁A

　　　　 又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

 　　∴B₁A∥平面BDC₁

　 (2)∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

　　　 ∴CC₁⊥面ABC

　　　 则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

　　　 如图建系 则C₁(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0)

　　　 ∴

　　　 设平面C₁DB的法向量为

　　　 则

　　　 又平面BDC的法向量为

　　　 ∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos

(Ⅲ)设P(h,2,0)　 则

若CP⊥面BDC₁　 　则　 即(h,2,0)=λ(2,-6,3)

此时λ不存在

∴在侧棱AA­₁上不存在点P，使得CP⊥面BDC₁