1、函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，讨论函数的单调性必须在某区间内进行.

[例1] 利用单调性的定义证明函数在(-∞，+∞)上是减函数。

证明：对任意

，，

即，是减函数。

证法二: 对任意

当时，有

当时，有

，即，是减函数。

证法三: 对任意

当时，有，又，

∴即，在(-∞，0]上是减函数。同理，在[0，+∞)上是减函数

∴在(-∞，+∞)是减函数。

特别提醒：要熟练掌握用定义法证明单调性的各种情形和具体手法，本题和下题都是为了强化这一点。

[例2]证明函数y=x+，(a>0)的单调区间上的单调性.

解：定义域：{x|x≠0}，任取x₁、x₂∈(0，+∞)且x₁＜x₂，则f(x₂)－f(x₁)=x₂+－x₁－=(x₂－x₁)+=(x₂－x₁)(1－)，

(要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.将(0，+∞)分为(0，]与[，+∞)(这是本题的关键)

(1)当x₁、x₂∈(0，]时，1－＜0，

∴f(x₂)－f(x₁)＜0，为减函数.

(2)当x₁、x₂∈[，+∞)时，1－＞0，

∴f(x₂)－f(x₁)＞0，为增函数.

由于f(x)是奇函数，所以在 [－，0)上递减；在(－∞，－]上递增.

[例3]已知若试确定的单调区间和单调性

解：设则

当递增，，增函数；

当递增，为增函数；

当递减，为减函数；

当递增，为增函数；

解： ，

，

　令 ，得或，

令 ，或

∴单调增区间为；单调减区间为

方法提炼：按复合函数“同增异减”确定单调性，比较繁琐。本题用导数法求单调区间好。

[例4]是R上的偶函数，在(-∞.0]上递增，解不等式(1)

(2)

解：(1)

在(-∞.0]上递增，是偶函数，则在[0，+∞)上递减，

∴原式

(2)原式

[研究.欣赏]

设函数f(x)= (a>0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+¥)上是单调函数

解： a³1时，

，f(x)递减；

　0<a<1时，存在两点x₁=0,x₂=2a/(1-a²) ,f(x₁)=f(x₂)=1,故无单调性

4、当0<a<1时，y=log_au递减，u=2-ax递减，复合后递增，当a>1时，增减复合递减，但必须在[0，1]上2-ax>0,只须2-a>0,故1<a<2选B．

6、有下列几个命题：

①函数y=2x²+x+1在(0，+∞)上不是增函数；

②函数y=在(－∞，－1)∪(－1，+∞)上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞)；

④已知f(x)在R上是增函数，若a+b＞0，则有f(a)+f(b)＞f(－a)+f(－b).其中正确命题的序号是_________.

简答精讲:1-4、BAAB；5、；6、④

5、(2004湖南)若f (x)= -x²+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是　　　　

4、若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( 　)

A．(0，1)　 B．(1，2)　 C．(0，2)　 D．[2，+∞)

3、 “”是“函数在区间上为增函数”的(　 )

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

2、(2005上海)若函数f(x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是 (　 )

A单调递减无最小值　　　　 B 单调递减有最小值

C单调递增无最大值　　　　 D 单调递增有最大值

1、下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是　　 (　 )

A.y=log₂(x²-1 )　 B.y= C.y=x²－4x+5　 D.y=

6、一些常用的结论：

　 ①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同；

　 ②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

　 ③单调函数必有反函数，且单调性一致；

④在公共定义域内:

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数

　⑤函数是奇函数，在和上递增；在和上是递减，进而可确定型函数的的单调区间。