2.(人教版第109页例6)

已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．

变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为(　 )

A．　　　　　 　　　　　　B．

C． 或　　　　 D． 或

正确答案：选C

变式2：已知a，b，当a+2b与2a－b共线时，值为 (　　 )

A．1　　　　　 B．2　　　　 C．　　　 　D．

正确答案：选D

变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与方向相反的单位向量是(　　 )

A．(0,1) 　　　　　 B．(0,－1)　　　 　 C． (－1,1)　　　　 D．(1,－1)

正确答案：选A

变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？

　 解：因为 ka－b ，a+3b．

由已知得，　 解得 ，

此时，ka－b ，a+3b，二者方向相反．

4．(人教版第102页第13题)

已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：

变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

求证：.

证明：如图，连接EB和EC ，

　 由和可得，　 (1)

　 由和可得，　 (2)

(1)+(2)得， 　　　　(3)

∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，

代入(3)式得，

3．(人教版第98页例6)

如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作a + b，a + 2b，

a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

变式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．

证明：∵a + 2b，2a + 4b，

∴ 　所以，A、B、C三点共线．

变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．

解：a + b ，a + 2b

由A、B、C三点在同一直线上可设，

则 　　所以 　　即 为所求．

2.(人教版第96页例4)

如图，在平行四边形ABCD中，a ，b ，

你能用a，b表示向量 ，吗？

变式1：如图，在五边形ABCDE中，

a ，b ，c ，d ，

试用a ，b ， c ， d表示向量和.

解：( a + b + d )

( d + a + b +c )

变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，a ，b

则下列各表述是正确的为( 　)

A．　 　　B．　

C．a + b 　　　　D．(a + b)

正确答案：选D

变式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则(　　 )

A.　 a+b+c+d=0　 　　　　　　　　 　　 B.　 a－b+c－d=0

C.　 a+b－c－d=0　　　　　　　　 　　 D.　 a－b－c+d=0

正确答案：选A

变式4：在四边形ABCD中，若，则此四边形是(　)

A．平行四边形　　B．菱形　　C．梯形　　 　D．矩形

正确答案：选C

变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．充分但不必要条件　　 　　　　　　　　　　　 B．必要但不充分条件　

?　　 C．充要条件　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

正确答案：选C

变式6：在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　　 )

A.平行四边形　　　　　　　　　　 B.矩形　　　　　　　　　　　　 C.梯形　　　　　　　　　　　　 D.菱形

[解析] ∵==－8a－2b=2，∴.

∴四边形ABCD为梯形.

正确答案：选C

变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于(　 )

A.λ(+),λ∈(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 B.λ(+),λ∈(0,)

C.λ(－),λ∈(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　 D.λ(),λ∈(0,)

[解析] 由向量的运算法则=+，而点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||,∴=λ(+),λ∈(0,1).

正确答案：选 A

变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=,则下列各式：　 ①=－ 　　　　②= +　

③=－ +　 　　　④++=

其中正确的等式的个数为(　　 )

A.1　　　　　 　　　 B.2 　　　　　　　　 C.3　　　　　 　　　 D.4

正确答案：选B

1．(人教版P85例2)

　 如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与、、相等的向量。

变式1：

如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与、共线的向量。

解：

变式2：

如图2，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。

解：

命题人：越秀区教育发展中心　 余建炜

2.3　 因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.

例7　 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.

分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.

要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.

解：由题意知：，

∴ ，

∴ .

由时，有，可得 .

∴ 　,

.

　　 (1)若，则在上单调，故当时，

∴ 　此时问题获证.

(2)若，则当时，　　　　　　　　　

又，

∴ 　此时问题获证.

综上可知：当时，有.

2.2 二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.

例6　 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

(1)如果，设函数的对称轴为，求证：；

(2)如果，，求的取值范围.

分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.

解：设，则的二根为和.

(1)由及，可得　 ，即，即

两式相加得，所以，;

(2)由, 可得　 .

又，所以同号.

∴ ，等价于或,

即　 或

解之得　 或.

2.1　 二次函数的图像关于直线对称， 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.

例5　 设二次函数，方程的两个根满足.　 且函数的图像关于直线对称，证明：.

解：由题意 .

由方程的两个根满足, 可得

且,

∴ ，

即　 ，故　 .

2.　 数形结合

二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.