5．(北师大版第60页B组第1题)三角函数图像

　　 函数一个周期的图像如图所示，试确定A，的值．

变式1：已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为(　)

A．，　　　　　　　　　 B．，　　　　　　

C．，　　　　　　　　 D．，

答案选A

变式2：函数在区间的简图是(　)

答案选A

　 变式3：如图，函数

　 　 　 的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

求和的值．

解：将，代入函数得：　　　　　

　 ，

因为，所以．

又因为，，，所以，

因此．

4．(北师大版第60页A组第4题)三角函数图像变换

　　 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？

变式1：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？

解：(1)先将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到函数的图象；

(2)再将函数上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象；

(3)再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

变式2：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？ 　

解：(1)先将函数图象上各点的纵坐标缩小为原来的(横坐标不变)，即可得到函数的图象；

(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；

(3)再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

变式3：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？

解：

另解：

(1)先将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；

(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；

(3)再将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到函数的图象．

3．(北师大版第69页练习2第2题)解三角形的实际应用

　　某观察站B在城A的南偏西的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km。这个人要走多少路才能到达A城？

变式1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向　

相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船

立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，

相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少

度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)？

解析：连接BC,由余弦定理得：

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

即BC=10

　∵，

∴sin∠ACB=，

　　 ∵∠ACB<90°，∴．

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．

变式2：如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．

　　 解：在中，．

由正弦定理得：．

所以．

在中，．

变式3：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

解法一：如图，连结，由已知，

，

，

又，

是等边三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，得：

．

．

因此，乙船的速度的大小为(海里/小时)．

答：乙船每小时航行海里．

解法二：如图，连结，由已知，，，

，

．

在中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理，得：

，

，即，

．

在中，由已知，由余弦定理，得：

．

，

乙船的速度的大小为海里/小时．

答：乙船每小时航行海里．

2．(北师大版第63页A组第6题)三角形中的几何计算

在中，，，的平分线交过点且与平行的线于点．求的面积．

变式1：已知的周长为，且．

(I)求边的长；

(II)若的面积为，求角的度数．

解：(I)由题意及正弦定理，得，

，

两式相减，得．

(II)由的面积，得，

由余弦定理，得

　　　　　　　　　　　　　　 　，

所以．

变式2：△ABC中，则△ABC的周长为(　 )．

A．　　　 　B．

C．　　　　　 D．

解：在中，由正弦定理得：化简得：AC=

，化简得：AB=，

所以三角形△ABC的周长为：3+AC+AB=3++

=3+

故选D

变式3：在，求(1)(2)若点

解：(1)由得：

，

由正弦定理知:　 ，

(2)，

由余弦定理知：

1．(北师大版第59页A组第2题)正弦定理与余弦定理

在中，若 ，则．

A．　 　　　B．　　　 C．　 　　　D．　

变式1：在中，若 ，，，则__________．

答案：1或3

变式2：在中，若 ，，，则此三角形的周长为__________．

答案：

变式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a=4，b=5，S=5，求c的长度．

　解：∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°

又∵c²＝a²+b²－2abcosC，

当∠C＝60°时，c²＝a²+b²－ab，c＝

当∠C＝120°时，c²＝a²+b²+ab，c＝

∴c的长度为或

(人教版第121页 例1)

题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍

变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，

　 求证：PA²+PB²+PC²+PD²=8r².

　　 证明： ，　　

，

　　　　 　，

　，

　　 以上各式相加可证．

变式2：已知△ABC中，，若，求证：△ABC为正三角形.

　 证明：，　 ∴，　 又∵，　 ，

故 ， 知a=b，　 同理可知b=c ，　 故a=b=c ， 得证．

变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证.

[证明] ∵E是对角线AC与BD的交点，∴.

在△OAC中，，

同理有.

四式相加可得：.

变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

求证：

[证法一] ∵E、F分别为DA、BC的中点.

∴

又∵=0①

=0②

①+②，得2=0

∴2

∴

[证法二] 连结EC，EB

∵，①

②

①+②,得2+0=，

∴

又∵③

④

③+④,得

又∵=0，

∴.

2.(人教版第119页 第11题)

已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．

变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 (　　　 )

A．3i+2j　　　　 　　　 B．－2i+3j　　　 　　　 C．－3i+2j　　 　 D．2i－3j

正确答案：选C

变式2：已知向量，，若与垂直，则实数=(　　 )

A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　 C．0　　　　　　　　　　　　 D．2

正确答案：选B

变式3：若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

正确答案：选B

变式4：已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)， c＝(2，y)且a∥b，ac．求|b－c|的值．

解：∵ a∥b，∴ 3x+8＝0． ∴x＝．　　 ∴ b＝(2， ) ．

∵ ac，　　　 ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝．　　 ∴　 c＝(2， )．

而b－c ＝(2，)－(2，)＝(0，－)，

∴ |b－c|＝．

(人教版第118页例5)

已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，试判断的形状，并给出证明．

变式1：是所在的平面内的一点，且满足，则 一定为(　　 )

A．正三角形　 B．等腰直角三角形　 C．直角三角形　　 D．斜三角形

正确答案：选C

变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++＝0，

则O是△ABC的(　　 )

A． 重心　　　　　　　 B． 垂心　　　　　　 　 　　 C． 内心　　　　　　　　　　 D． 外心

正确答案：选A

变式3：已知，则△ABC一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形　　　　 C．钝角三角形　　　　 D．等腰直角三角形

正确答案：选B

变式4：四边形中，

(1)若，试求与满足的关系式；

(2)满足(1)的同时又有，求的值及四边形的面积。

解：　

(1)　　 则有

　 　　化简得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)

又　 则

化简有：　　　　　　　　　　　

联立

解得　 或　　　　　　　　　　　　　　　

　　则四边形为对角线互相垂直的梯形

当　 　

　此时

当　 　

此时　　　　　　　　　　　　　

2.(人教版第116页例4)

已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与ab互相垂直？

变式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，则k的值为(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．1

正确答案：选B

变式2：已知|a|＝1，|b| ＝且(a－b)⊥a，则a与b夹角的大小为　 45º　　 ．

解：

5．(人教版第116页例3)

已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为，求 (a + 2b)·(ab) ．

变式1：已知那么与夹角为

A、　　　　　 B、　　　　 　C、　 　　　　D、

正确答案：选C

变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则(2a – b)·a等于

　 (A)15　　　　　　　　 　 (B)12　　　　　　 　　 (C)6　　　　　　　　 (D)3

正确答案：选B

变式3：在△ABC中，已知||=4，||=1，S_△ABC=，则·等于(　　 )

A.－2　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.±2　 　　　　　　 D.±4

正确答案：选C

变式4：设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

　 解：∵，故，

解之 ．

另有，解之，

∴．

2.(人教版第110页例8)

设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，．

(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标

变式1：已知两点，，，则P点坐标是　 (　　 )

A． 　　B．　 　C．　 　　D．

正确答案：选B

变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，

若＝a，＝b，则＝　　 　，

＝　　 　　　　　 (用a、b表示)