8. (人教A版116复习参考题B组第7题)

要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60m²,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论

解:不对

设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：

　　 ，　　　　

　①×②得G²=, ∴G=

由于，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对

设计意图：基本不等式的应用。

7. (人教A版115复习参考题B组第1题)

求证：

变式1：己知都是正数，且成等比数列，

求证：

证明：

　 成等比数列，

都是正数，

设计意图：基本不等式的灵活应用。

变式2：若，求证ab与 不能都大于

证明：假设ab, (1－a) (1－b)都大于

设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。

6．(人教A版115复习参考题A组第2题)

已知集合，，求.

变式1：已知A={x|x³+3x²+2x＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x＞－2}，求a、b的值

解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x₁，x₂］，由A∩B=(0，2］知x₂＝2，

且－1≤x₁≤0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由A∪B=(－2，+∞)知－2≤x₁≤－1　　　　　 ②

由①②知x₁＝－1，x₂＝2，

∴a＝－(x₁+x₂)＝－1，b＝x₁x₂＝－2

设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。

变式2：解关于x的不等式

解：下面对参数m进行分类讨论：

①当m=时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为

②当时，原不等式可化为

，∴不等式的解为或

③当时，原不等式可化为

，

　 当时，原不等式的解集为；

　 当时，原不等式的解集为；

　 当时，原不等式无解

综上述，原不等式的解集情况为：

①当时，解为；

②当时，无解；

③当时，解为；

④当m=时，解为；

⑤当时，解为或

设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。

5.(人教A版113页习题3.4A组第1题)

(1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

(2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

变式1：函数y =+的值域为　　　　　 　　　

解：y=+= (+1)+－1≥2-1=1 ，所以值域为[1, +∞)

设计意图：均值不等式的灵活应用.

变式2：设x≥0, y≥0,　 x²+=1,则的最大值为＿＿

解法一: ∵x≥0, y≥0, x²+=1　

∴==

≤==

当且仅当x=,y=(即x²= )时, 取得最大值

解法二:　 令(0≤≤)

　 则=cos=

≤=

当=,

即=时,x=,y=时，取得最大值

设计意图：均值不等式的灵活应用.

4.(人教A版105习题3.3A组第2题)

画出不等式组表示的平面区域.

变式1：点(－2，t)在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______

解：(－2，t)在2x－3y+6=0的上方，则2×(－2)－3t+6＜0，解得t＞ 答案：t＞

设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.

变式2：求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积

解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或或或

其平面区域如图

∴面积S=×4×4=8

设计意图：不同形式的可行域的作图.

10．(北师大版第150页B组第6题)三角恒等变换

　　 化简：．

变式1：函数y＝的最大值是(　　 )．

A.－1　　 　　　　　　 B. +1 　　　　　　　 C.1－　　 　　　　　　 D.－1－

答案选B

变式2：已知，求的值．

解：∵ ，

∴　

即 　．

变式3：已知函数，．求的最大值和最小值．

解：

．

又，，即，

．

9．(北师大版第144页A组第1题)三角函数的简单应用

电流I随时间t 变化的关系式，，设 ，．

(1)　　 求电流I变化的周期；

(2)　　 当(单位)时，求电流I．

变式1：已知电流I与时间t的关系式为．

(1)右图是(ω＞0，)

在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

　解:(1)由图可知 A＝300．

设t₁＝－，t₂＝，

则周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝．

∴ ω＝＝150π．

又当t＝时，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝．

故所求的解析式为．

(2)依题意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整数ω＝943．

变式2：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似

满足函数y=Asin(ωx+)+b.

(Ⅰ)求这段时间的最大温差；

(Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式．

　解：(1)由题中图所示，这段时间的最大温差是：

30－10＝20(℃).

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+)+b的半个周期的图象，

∴·＝14－6，解得ω＝.

由图示，A＝(30－10)＝10，b＝(30+10)＝20.

这时y=10sin(x+)+20.

将x=6，y=10代入上式，可取＝.

综上，所求的解析式为y=10sin(x+)+20，x∈［6，14］

变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，

离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系

为.

(1)单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？

(2)单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？

(3)单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？

8．(北师大版第132页A组第4题)两角和与差及二倍角的三角函数

已知，，求，的值．

变式1：在中，已知，，．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求的值．

(Ⅰ)解：在中，，

由正弦定理， ．

所以．

(Ⅱ)解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，

于是，

，

．

∴　

．

变式2：在中，，．

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)若最大边的边长为，求最小边的边长．

解：(Ⅰ)，

．

又，．

(Ⅱ)，

边最大，即．

又，

角最小，边为最小边．

由且，

得．由得：．

所以最小边．

变式3：已知，且,

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求.

解：(Ⅰ)由，得

∴，于是

(Ⅱ)由，得

又∵，∴

由得：

所以．

7．(北师大版第66页B组第2题)同角三角函数的基本关系

　　 已知，求．

变式1：已知，求的值．

解：∵ 　，

∴　

即　

∴　 当时，；

　　 当时，．

变式2：已知，那么角是(　)．

A．第一或第二象限角　　　　　　　　　　 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角　　　　　　　　　　 D．第一或第四象限角

答案选C．

变式3：是第四象限角，，则(　　 )．

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

答案选D．

6．(北师大版第60页A组第6题)三角函数性质

求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合．

(1) ；　　　 (2)

变式1：已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于　　　　 (　 　　)

　　 (A)　　(B)　　(C)2　　(D)3

答案选B

变式2：函数y=2^sinx的单调增区间是(　　 )

A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)

B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)

C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)

D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)

答案选A．因为函数y=2^x为增函数，因此求函数y=2^sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间．

变式3：关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：

①对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使f(x)是奇函数；

④对任意的，f(x)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

解析：当=2kπ，k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数．当=2(k+1)π，k∈Z时f(x)=－sinx仍是奇函数．当=2kπ+，k∈Z时，f(x)=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函数．所以②和③都是正确的．无论为何值都不能使f(x)恒等于零．所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数．①和④都是假命题．