3、(本小题满分13分)

　　　 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

　 (Ⅰ)异面直线AB与EB₁的距离；

　 (Ⅱ)二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值.

(Ⅰ)因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE.

又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB.

由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是异面直线

AB与EB₁的公垂线，

在平行四边形BCC₁B₁中，设EB=x，则EB₁=，

作BD⊥CC₁，交CC₁于D，则BD=BC·

在△BEB₁中，由面积关系得.

(负根舍去)

解之得CE=2，故此时E与C₁重合，由题意舍去.

因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1.

(Ⅱ)过E作EG//B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圆A₁B₁E内，

又已知AE⊥EB₁

故∠AEG是二面角A-EB₁-A₁的平面角.

因EG//B₁A₁//BA，∠AEG=∠BAE，故

巧妙利用典型的立体几何模型可以很轻松地解决一些复杂的高考题，在平时复习是我们应该不断总结，总结有哪些典型的立体几何模型可以用于解题，这样才能提高解题能力。

2、(本小题满分13分)

　　 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求

　 (Ⅰ)异面直线PD与EC的距离；

　 (Ⅱ)二面角E-PC-D的大小.

(Ⅰ)因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE

是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知

EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.

设DE=x，因△DAE∽△CED，故(负根舍去).

从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.

(Ⅱ)过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，

故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.

因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.

因此∠EHG为二面角的平面角.

在面PDC中，PD=，CD=2，GC=

因△PDC∽△GHC，故，

又

故在

即二面角E-PC-D的大小为

如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：

(1)它的四个面都是直角三角形；

(2)；

(3)以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是与；

(4)以AD为棱的二面角为，则；

(5)对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；

(6)对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则，等等.

例3　如图4，ABCD是上下底长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁拆成直二面角，如图5.

(1)证明：AC⊥BO₁；

(2)求二面角O－AC－O₁的大小.

解：(1)略

(2)∵平面AOO₁⊥平面OO₁C，又∵AO⊥O₁C，∴AO平面OO₁C，同理CO₁⊥平面AOO₁，四面体AOO₁C是一个双垂四面体，若二面角O－AC－O₁的平面角为，则，根据条件，从图5中可知AO＝3，OC＝2，，CO₁＝1，即可自得.

例4　如图6，直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B－AC－E的大小；

(3)求点D到平面ACE的距离.

分析：当(1)证明后，我们很容易识别四面体A－EBC是一个双垂四面体，若二面角B－AC－E的平面角为，则，由条件可以计算出AB＝CB=2,AE=，，∴.

值得注意的是此题的(3)并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为

利用典型立体几何模型解高考题：

1、(本小题共14分)

如图3所示，在四面体中，已知，

．是线段上一点，，点在线段上，且．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

[答案]：

　(Ⅰ)证明：在中， ∵

　　　 　　　　　　　 ∴

　　　　　 ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，

同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

在中，∵

　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　 ∴　 又∵

　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴

(II)由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE　∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，　故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，

∵　∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

正四面体如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体，特别在多球问题中有广泛的应用.正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上.如图，正四面体，E、F分别是对棱BC、AD的中点，△AED是它的对称面，若正四面体的棱长为1，通过解△AED，可得它的对棱距离.高，内切球半径，外接球的半径，表面积为，体积为，相邻面所成的角的平面角为，侧棱与底面成的角为.

例1　如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　)

A.　B.　　C.　　D.

分析：多面体ABCDEF是由一个侧面为正方形ABCD的正三棱柱，与一个边长为1的正四面体组合而成.这个正三棱柱的侧棱与对面的距离(即EF与面ABCD的距离)等于正四面体的对棱距离，因此它的体积为，故选A.

例2　将半径都为1的4个小球完全装入正四面体的容器里，这个正四面体高的最小值为(　)

A.　B.　　C.　　D.

分析：这四个小球放入后，它们的球心也形成了一个边长为2的正四面体，这个四面体与正四面体容器有公共的中心(内切球与外接球的公共球心)，中心到各个面的距离是它的半径，而中心到两个正四面体的对应面的距离相差1，若四面体的边长为2，对应这个距离为，容器的中心到面的距离为，则容器的高是它的四倍，故应选C.

AB是PB在内的射影，BC是内一条直线则有.

大家要注意搞清楚那个是，那个是，那个是，实际上只要搞清那个是，另外两个就是.

在直线AB上有一点D，过D在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，则

那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.

例7　EA⊥面ABCD，ABCD是边长为的正方形，EA＝1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成角.

分析：

即所以.

可见AC中点即是要找的点P

例8　长方体中，AB＝2，AA₁＝1，BD与面AA₁B₁B成30°角.AE⊥BD于E，F为A₁B₁的中点，求AE，BF成角.

解：

＝

所以AE，BF成角为.

这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.

这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.

在三棱锥中，，且.

①以P为公共点的三个面两两垂直；

②△ABC是锐角三角形

证明：设

△ABC中

.

所以为锐角，同理也为锐角.

③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心

④三棱锥的高

设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.

在△PAD中，

这个结果也可以这样说：如果在三棱锥中，在底面上作于D，连结PD，

则.或者说：作则.这将来对二面角的平面角有好的影响.

⑤的平面角分别是

.

⑤体积：;⑥它的外接球直径是.

例4、四棱锥中，底面是边长为的正方形，，求的大小.

分析：考虑三棱锥，它就是模型2－长方体的“一个角”.本来我们可以利用…，这儿只要过A作AF，连结BF，于是.则就是二面角A－DE－B的平面角，只要把这个角算出就行.首先△BAF是直角三角形，原因是是直角.

在Rt△BAF中

所以.

我们看到象例4这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.

例5、直二面角中，ABCD是边长为2的正方形(见图)AE＝BE，F为CE上的点，BF⊥面ACE，求D到面ACE的距离.

分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.

在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.

补充图形，在正方体看问题.在这里看直二面角的局部图形.

问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB₁C的距离.

因为O，B到面ACB₁的距离相等，所以只须求B到面ACB₁的距离即可，

考虑三棱锥B－ACB₁，它是模型2.

所以，D到面ACE的距离为.

点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB₁，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化.

所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.

例6　底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截，AB＝4，BC＝2，CC₁＝3，BE＝1(见图)，求C点到面AEC₁F的距离.

分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.

解：延长C₁E，交CB的延长线于M，延长CD，交C₁F延长线于N，C－C₁NM是模型2.

因为

同理.

所以，C到面C₁MN的距离为

.

点评：利用模型解法比高考试卷评分标准中答案要简单得多.

1.长方体中是长方体的对角线，它有几个结论：

①体对角线长是：

　②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为，则

　③考虑四面体是对棱长分别相等的四面体，

即，对棱长分别是.

　例1　某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是，求四面体的体积.

　分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为的长方体中，

如图，由把看作三个元，解这个三元方程组得：

这样都可以用这个四面体的对棱长来表达.

四面的体积＝长方体的体积－4个三棱锥的体积

所以.

四面体中异面对棱长分别为的四面体的体积的算法--嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用.

　例2如图，三棱锥中，，在△内，，求的度数.

分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的三个面是吻合的，这样PM是这个长方体的对角线.根据，可得，从而.如果在图中随便连MC，解△MPC那恐怕不是好办法.

这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥是完全可能的.

　例3　 四棱锥中，是矩形，，求PC与BD的成角的余弦值.

　解：延长AB到E，使AB＝BE，连结EP、EC

在PCE中，＝＝＝

所以PC与BD成角的余弦值为.

点评：长方体模型对于确立起了很大的作用.

1、极昼极夜的范围=90-太阳直射点的度数 2、两点的相对高度公式:相对高度小于(n+1)*等高距，大于等于(n+1)*等高距。 其中n为等高线的条数。　 (本"公式"有误:1、应大于或可能等于n-1的差乘以等值距。2、是否取等于，关键要看这两点的高度值。3、还要有个前提,即图中各等值线的数值各不相同,只有这样该公式才成立　) 3、地方时： (1)根据太阳照射情况形成的时刻，如太阳直射点所在经线(位于昼半球中央)为12点。(地球自转会造成照射情况的变化，地方时就变化) 要求：能在任意形式的日照图上读出特殊地方时(如12点、0点或24点、6点、18点)的分布。 (2)图上计算： 经度每相差15度地方时相差1小时(或1度/4分钟、经度1分/4秒钟)，东早(加)西晚(减) 注意：过日界线时日期还要再加(向西)减(向东)一天 (3)公式计算： (甲经度-乙经度)*1小时/15度=甲地方时-乙地方时 注意：东经度写成正数，西经度写成负数。正负经度已经考虑了日界线两侧的日期差异。 4、时区： (1)为了各地交往的方便，将全球经度划分为24个时区，各时区以其中央经线的地方时作为全时区的共用区时。 (2)某经度所在的时区计算： 经度/15度=商.....余数。 如果余数小于7.5，所在时区=商数 如果余数大于7.5，所在时区=商数+1 5、区时 (1)时区每差1个区，区时相差1小时，东早(多)西晚(少) 注意：过日界线日期要先加减一天 (2)公式计算： 甲时区-乙时区=甲区时-乙区时 某地区时=已知地区时+(甲时区-乙时区)X1小时/时区=已知地区时+(甲区时-乙区时) 注意：东时区写成正数，西时区写成负数。正负数已经考虑了日界线两侧的日期差别。 6、正午太阳高度： (1)正午太阳高度是指一天中的最大太阳高度，即地方时12点时的太阳高度。 (2)图上推导(略) (3)计算公式(与直射点相比)： 90度-某地H=直射点纬度与某地纬度的角度差的绝对值 技巧：可以将北纬写成正数，而将南纬写成负数。 (4)计算公式(与任意纬度相比) 甲H-乙H=(甲纬度-乙纬度)的绝对值 注意：北纬度写成正数，南纬度写成负数 7、比例尺 比例尺=图上距离/实际距离 注意：比例尺本身没有单位，但计算时要注意图上距离、与实际距离的单位要先换算统一。 比例尺大小实际上是实际距离缩小的程度，数值上表现为比值的大小。 比例尺的缩小或放大是距离的缩放、并非面积的缩放。 图上距离往往需要在地图上量取。 8、实际距离 (1)实际距离=图上距离/比例尺 (2)在经纬网图上： 经线上跨纬度1度=111千米 纬线上跨经度1度=111*cosA千米，其中A是纬度 9、人口密度 人口密度=该地常住人口(人)/该地土地面积(平方千米) 10、人口耕地密度 人口耕地密度=该地常住人口数/该地耕地面积 11、人口增长率 人口自然增长率=(某时段末人口数-该时段初人口数)/该时段初人口数 12.城市人口比重 城市人口比重=城市总人口/总人口 13.太阳高度角的计算方法： 两地之间的太阳高度角的差=两地之间的纬度差 15、昼长、夜长 (1)昼长=日落时刻-日出时刻 注意：前后时刻一致即可，比如都是某地地方时，比如都是北京时间 (2)昼长=(12-日出地的地方时)*2 昼长=(日落地的地方时-12)*2注意：均指该地地方时 (3)图上计算： 昼长=24小时*昼弧/360度 (4)北纬某地昼长=对应南纬的夜长 (5)夜长=24-昼长 16、日出、日落时刻 (1)地方时、区时计算 (2)日出时刻=(24-昼长)/2 日出时刻=12-昼长/2 (3)日落时刻=24-日出时刻 日落时刻=12+昼长/2 17.人口计算公式，与上面第11点呼吸版主有所不同。 　什么是人口出生率？ 人口出生率是指某一地区在一定时期内(通常指一年)出生人数与平均人口之比。 计算公式：出生率=(年内出生人数/年平均人口数)×1000‰ 　什么是死亡率？指一定时期内人口死亡人数与同期平均人口数之比。 　什么是人口自然增长率？ 是指一年内人口自然增长数与年平均总人数之比，通常用千分率表示。用于说明人口自然增长的水平和速度的综合性指标。 计算公式：(人口自然增长率=年自然增长人数/该年年平均人口数)×1000‰ 　什么是总和生育率？ 是指一定时期育龄妇女各年龄组生育率之和，以千分数表示。反映育龄妇女在15至49周岁总的生育水平，也可看成为如果一批妇女按照目前各年龄的生育水平度过整个生育期，则一生可能生育的孩子数。 18.外流区的降水量、径流量、蒸发量 　降水量＝径流量+蒸发量

44．(10分)回答下列I、Ⅱ两题。

I．(5分)图7甲中A、B表示大豆、玉米两种植物的叶片结构示意图，图乙为这两种植物在相同光照条件下的CO一光合速率曲线，a、b、c、d为曲线Ⅱ上的点。请据图分析回答：([　　 ]中填序号)

(1)图甲中含有无基粒的叶绿体的细胞是[　　 ]　　　　　　　 。

(2)图乙曲线上ab段限制光合作用的主要因素是　　　　　　　 。

(3)图乙中表示玉米的CO一光合速率曲线的是　　　　　　　　 ；在夏季高温、

光照强烈和干旱的条件下，哪条曲线的光合速率下降更明显?　　　　　　　　　 。

(4)与施用化肥相比，增施有机肥能提高光合效率的主要原因是　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

II．(5分)科学家发现生长在高温、强光照和干旱环境中的植物气孔会关闭，这时，植物能利用叶片内细胞问隙中含量很低的进行光合作用，而植物则不能。

　　 取自热带不同生长环境下的甲、乙两种长势良好、状态相似的草本植物。已知甲是植物，乙不知其光合作用固定的类型。请利用一个密闭大玻璃钟罩，完成初步判别乙植物是植物还是植物。

(1)原理：在高温、强光照和干旱环境中，植物能利用叶片内细胞间隙中含量很低的进行光合作用，而植物则不能。

(2)方法步骤：①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　；

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(3)预期结果：①如果　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

则乙植物是植物；②如果　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,

则乙植物是植物。

43．(10分)人们试图利用基因工程的方法，用乙种生物生产甲种生物的一种蛋白质，请根据图6所示示意图回答下列问题：

　(1)　 ①操作过程需加入的网种核苷酸是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

　此外。还必须加入　　　　　　　　　　　 　酶。

　(2)质粒是常用的运载体，它存在于许多细菌及酵母菌等生物中。最常用的质粒是　　　 的

　质粒，它常含有　　　　　　　 　　基因，这种基因有助于对受体细胞是否导入了目的基

　因进行检测。②过程首先要用　　　　　　　　　　　　　　 酶切断质粒DNA，再用

　　　 酶切断质粒DNA连接重组在一起。

(3)在②操作过程中，若目的基因的黏性末端为，则其运载体(质粒)与之相对应的黏性末端是　　　　　　　 。

(4)经过③过程导入受体细胞的质粒是否能够自主复制?　　　　　　 。

(5)④过程包括遗传信息的　　　　　　 和　　　　　　　 。