摘要：正四面体如同平面几何中的正三角形.是立体几何中最常见的基础四面体.特别在多球问题中有广泛的应用.正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上.如图.正四面体.E.F分别是对棱BC.AD的中点.△AED是它的对称面.若正四面体的棱长为1.通过解△AED.可得它的对棱距离.高.内切球半径.外接球的半径.表面积为.体积为.相邻面所成的角的平面角为.侧棱与底面成的角为. 例1 如图.在多面体ABCDEF中.已知ABCD是边长为1的正方形.且△ADE.△BCF均为正三角形.EF//AB.EF＝2.则该多面体的体积为( ) A. B. C. D. 分析:多面体ABCDEF是由一个侧面为正方形ABCD的正三棱柱.与一个边长为1的正四面体组合而成.这个正三棱柱的侧棱与对面的距离等于正四面体的对棱距离.因此它的体积为.故选A. 例2 将半径都为1的4个小球完全装入正四面体的容器里.这个正四面体高的最小值为( ) A. B. C. D. 分析:这四个小球放入后.它们的球心也形成了一个边长为2的正四面体.这个四面体与正四面体容器有公共的中心(内切球与外接球的公共球心).中心到各个面的距离是它的半径.而中心到两个正四面体的对应面的距离相差1.若四面体的边长为2.对应这个距离为.容器的中心到面的距离为.则容器的高是它的四倍.故应选C.

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