5．(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文理))(本题15分)如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,

且，.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

解：(1)设椭圆方程为　　　　　　　

由题意

又∵即

∴　　 故椭圆方程为　 …………6分

　(2)假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故 　……………8分(第5题)

于是设直线为 ，由得

　　 …………10分

∵ 又

得　 即

　 由韦达定理得

解得或(舍)　 经检验符合条件

则直线的方程为:………15分

4._{(浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理))}已知抛物线C上横坐标为的一点，与其焦点的距离为4.(1)求的值；(2)设动直线与抛物线C相交于A、B两点，问在直线上是否存在与的取值无关的定点M，使得被直线平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

解析：(1)由已知得

(2)令，设存在点满足条件，由已知得，即有；整理得；由得，即有，，因此存在点M()满足题意.

3.(温州市十校2008学年高三第一学期期初联考 数学试题(文))2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。

据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，

身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是

一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，

且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最

高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在

距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，

并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

(1)求抛物线的解析式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中

的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中

调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问

此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；　　　　　　 (第3题图)

(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？

解：(1)由已知可设抛物线方程为

　　　　 又抛物线过(0，0)和(2，-10)　　 (2分)

代入解得，

所以解析式为：　　 (5分)

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，

　　　　 (7分)

所以此时运动员距水面距离为，故此次跳水会出现失误 (10分)

(3)要使得某次跳水成功，必须

　　 解不等式得

　 所以运动员此时距池边的水平距离最大为米。　　 (15分)

2．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(文))(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)经过点(0, )且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，

求k的取值范围；

(Ⅲ)已知点M(，0)，N(0, 1)，在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

解(Ⅰ) 设C(x, y),

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .　 ∴ .

∴ W: 　. …………………………………………… 5分

(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

　整理，得.　　　　 ①………………………… 7分

　因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 10分

(Ⅲ)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则＝(x₁+x₂，y₁+y₂),

　由①得.　　　　　　　　 ②

　又　　　　　　　　 ③

因为，， 所以.……………………… 12分

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线. ……………………15分

1.((2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(理))本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足

　 条件：△ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线W.

　　 (Ⅰ) 求W的方程；

(Ⅱ) 经过点(0, )且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k

的取值范围；

　　 (Ⅲ)已知点M(，0)，N(0, 1)，在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量　

　　 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解： (Ⅰ) 设C(x, y),

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .　 ∴ .

∴ W: 　.　　 …………………………………………… 5分

(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

　整理，得.　　　　 ①………………………… 7分

　因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 10分

(Ⅲ)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则＝(x₁+x₂，y₁+y₂),

　由①得.　　　　　　　　 ②

　又　　　　　　　　 ③

因为，， 所以.……………………… 12分

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线. ……………………15分

21．解：(1)设，则由得为中点，所以

　　　　 又得，，

所以().　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

(2)由(1)知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即，

所以，

根据成等差数列，得，　　　 ………………10分

直线的斜率为，

所以中垂线方程为，　　　　　　　 ………………12分

又中点在直线上，代入上式得，即，

所以点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………15分

21．(本小题满分15分)设，点在轴上，点在 轴上，且

(1)当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

(2)设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.

7．

………………5分

6．(宁波文(本题15分))如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,

且，.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

6 解：(1)设椭圆方程为

由题意

又∵即

∴　　 故椭圆方程为　 …………6分

　(2)假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故 　……………8分

于是设直线为 ，由得

　　 …………10分

∵ 又

得　 即

　 由韦达定理得

解得或(舍)　 经检验符合条件

则直线的方程为:………15分

7(本题满分15分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于两不同的点.

5．(宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科))

(本题15分)如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点,

且，．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

5解：(1)如图建系，设椭圆方程为,则

又∵即

∴　

故椭圆方程为 …………6分

　(2)假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故， ……8分

于是设直线为 ，由得

　　 …………………………………10分

∵ 又

得　 即

　 由韦达定理得

解得或(舍)　 经检验符合条件………15分