4．在进行n＝k+1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
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3．注意n＝k+1时命题的正确性．
2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．
1．数学归纳法仅适应于与自然数有关的数学命题．
11．(2009·陕西卷理)已知数列{xn}满足，x1＝，xn+1＝，n∈N*.
(1)猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
(2)证明：|xn+1－xn|≤()n－1.
[证明] (1)由x1＝及xn+1＝得x2＝+x4＝，x4＝，由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证命题成立．
②假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k+2易知x2k＞0，那么x2k+2－x2k+4＝－＝
＝
＞0.
即x2(k+1)＞x2(k+1)+2
也就是说，当n＝k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立．
(2)当n＝1时，|xn+1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立．
当n≥2时，易知0＜xn－1＜1，∴1+xn－1＜2，xn＝＞
∴(1+xn)(1+xn－1)＝(1+)(1+xn－1)＝2+xn－1≥
∴|xn+1－xn|＝＝
≤|xn－xn－1|≤()2|xn－1－xn－2|≤…≤()n－1|x2－x1|＝()n－1.
亲爱的同学请你写上学习心得
10．设an＝1+++…+(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1+a2+…+an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．
[解] 假设g(n)存在，探索g(n)．
当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)得g(2)＝2
当n＝3时，由a1+a2＝g(3)(a3－1)得g(3)＝3
当n＝4时，由a1+a2+a3＝g(4)(a4－1)得g(4)＝4
由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N*)
下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，等式a1+a2+…+an－1＝n(an－1)成立．
(1)当n＝2时，左边＝a1＝1，右边＝2(a2－1)＝2×＝1 ∴等式成立
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即a1+a2+…+ak－1＝k(ak－1)
那么n＝k+1时，a1+a2+…+ak－1+ak＝k(ak－1)+ak＝(k+1)ak－k
＝(k+1)(ak+)－(k+1)
＝(k+1)ak+1－(k+1)＝(k+1)(ak+1－1)
∴当n＝k+1时，等式也成立
由(1)、(2)可知，对于一切大于1的自然数n，都存在g(n)＝n，使等式a1+a2+…+an－1＝g(n)(an－1)都成立．
9．数列{an}满足a1＝2，an+1＝，试观察分析a2，a3，a4，归纳推测出an＝________.
[解析] ∵a1＝2，an+1＝∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，∴an＝.
[答案]
8．用数学归纳法证明1+++…+＜2(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．
[解析] n＝2时，左边＝1++＝1++，右边＝2.
[答案] 1++＜2
7．用数学归纳法证明不等式++…+＜的过程，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是________．
[解析] 不等式的左边增加的式子是
+－＝.
6．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n个圆将平面分成几个部分
( )
A．2n个 B．2n个
C．n2－n+2个 D．n2+n+1个
[解析] n＝2时，分成4部分，可排除D；n＝3时，分成8部分，可排除A；n＝4时，分成14部分，可排除B，故选C.
下面用数学归纳法证明，记f(n)＝n2－n+2.
(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1+2＝2，命题成立；
(2)假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，即k个圆把平面分成k2－k+2个部分．
当n＝k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成了k2－k+2个部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两块，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成：(k2－k+2)+2k＝(k+1)2－(k+1)+2个部分，这说明当n＝k+1时命题也成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．
[答案] C
