12. 解:(1)![]()
依题意
在
时恒成立,即
在
恒成立.
则
在
恒成立,
即![]()
当
时,
取最小值![]()
∴
的取值范围是
……![]()
(2)![]()
设
则
列表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
极大值 |
¯ |
极小值 |
|
∴
极小值
,
极大值
,
又
……![]()
方程
在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
则
, 得
…………
(3)设
,则![]()
在
为减函数,且
故当
时有
.
假设
则
,故![]()
从而![]()
![]()
即
,∴
…………![]()
11.( 1)当
时,
,
,
,
,
所以曲线
在
处的切线方程为
;
(2)存在
,使得
成立,等价于:
,
考察
,
,
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
递减 |
极小值 |
递增 |
1 |
由上表可知:
,
,
所以满足条件的最大整数
;
(3)对任意的
,都有
成立
等价于:在区间
上,函数
的最小值不小于
的最大值,
由(2)知,在区间
上,
的最大值为
。
,下证当
时,在区间
上,函数
恒成立。
当
且
时,
,
记
,
,
。
当
,
;当
,
,
所以函数
在区间
上递减,在区间
上递增,
,即
,
所以当
且
时,
成立,
即对任意
,都有
。
(3)另解:当
时,
恒成立
等价于
恒成立,记
,
,
。
记
,
,由于
,
, 所以
在
上递减,当
时,
,
时,
,即函数
在区间
上递增,在区间
上递减,所以
,所以
.
10. (1)解法1:∵
,其定义域为
,
∴
.
∵
是函数
的极值点,∴
,即
.
∵
,∴
.
经检验当
时,
是函数
的极值点,
∴
.
解法2:∵
,其定义域为
,
∴
.
令
,即
,整理,得
.
∵
,
∴
的两个实根
(舍去),
,……2分
当
变化时,
,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
减 |
极小值 |
增 |
依题意,
,即
,
∵
,∴
.………… 4分
(2)解:对任意的
都有
≥
成立等价于对任意的
都有
≥
.
当![]()
[1,
]时,
.
∴函数
在
上是增函数.
∴
.
∵
,且
,
.
①当
且![]()
[1,
]时,
,
∴函数
在[1,
]上是增函数,
∴
.
由
≥
,得
≥
,
又
,∴
不合题意.
②当1≤
≤
时,
若1≤
<
,则
,
若
<
≤
,则
.
∴函数
在
上是减函数,在
上是增函数.
∴
.
由
≥
,得
≥
,
又1≤
≤
,∴
≤
≤
.
③当
且![]()
[1,
]时,
,
∴函数
在
上是减函数.
∴
.
由
≥
,得
≥
,
又
,∴
.
综上所述,
的取值范围为
.
7. 解:(I)设函数
则有
![]()
②
②代入①,得![]()
设![]()
所以,函数
最多只有1个零点,
观察得
…………4分
此时,点P(1,0)。 ………………5分
(II)根据(I)知,当
时,两条曲线切于点P(1,0),
此时,变化的![]()
而
是固定不变的,如果继续让对称轴向右移动,
即![]()
解得
………………9分
两条曲线有两个不同的交点,当
时,开口向下,
只有一个交点,显然不合题意,
所以,有
………………10分
(III)假设存在这样的m,不妨设![]()
![]()
以S为切线的切线l1的斜率
![]()
以T为切点的切线l2的斜率
![]()
如果存在m,使得![]()
即
③
而且有![]()
如果将③的两边同乘以
得
|
![]()
⑤
∴④与⑤矛盾。
所以,不存在实数
………………15分