3、已知集合，，则＝(　 )

　　 A．Æ　　　　 B．　　　 C．　　 　　　 D．{或}

2、设集合，，下列对应不是从集合A到集合B的映射的是(　 )

A．　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　 D．

1、已知，且，则下列命题正确的是(　 )

A．如果，那么　　 　　　B．如果，那么

C．如果，那么　　　　　 D．如果，那么

(一)解答题：

1、已知正方体中，分别为的中点，求证：(1)四点共面；(2)若交平面于点，则三点共线。

2、已知，求证：。

3、设，且，求证：。

4、已知：。求证：中至少有一个不大于。

5、已知。求证：(1)；

(2)中至少有一个不小于。

例1、(06陕西)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有　　　 种。(600种)

(二)解答题：

2、(07湖北21)(I)用数学归纳法证明：当时，；

(II)对于，已知，

求证：，；

(III)求出满足等式的所有正整数。

解法1：(Ⅰ)证：用数学归纳法证明：

(ⅰ)当时，原不等式成立；当时，左边，右边，

因为，所以左边右边，原不等式成立；

(ⅱ)假设当时，不等式成立，即，则当时，

，，于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式也成立．

综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数，不等式都成立．

(Ⅱ)证：当时，由(Ⅰ)得，

于是，．

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，当时，

，

．

即．即当时，不存在满足该等式的正整数．

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的只有．

解法2：(Ⅰ)证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当，且时，，．　①

(ⅰ)当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；

(ⅱ)假设当时，不等式①成立，即，则当时，

因为，所以．又因为，所以．

于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式①也成立．

综上所述，所证不等式成立．

(Ⅱ)证：当，时，，，

而由(Ⅰ)，，

．

(Ⅲ)解：假设存在正整数使等式成立，

即有．　　　②

又由(Ⅱ)可得

，与②式矛盾．

故当时，不存在满足该等式的正整数．

下同解法1．

3、(06陕西22)已知函数，且存在，使。

(I)证明：是上的单调增函数；(II)设，

其中。证明：；(III)证明：。

解: (I)∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 ， ∴f(x)是R上的单调增函数．

(II)∵0<x₀< ， 即x₁<x₀<y_1．又f(x)是增函数， ∴f(x₁)<f(x₀)<f(y₁)．即x₂<x₀<y₂．

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁， y₂=f(y₁)=f()=<=y₁，综上， x₁<x₂<x₀<y₂<y₁．

用数学归纳法证明如下:

(1)当n=1时，上面已证明成立．

(2)假设当n=k(k≥1)时有x_k<x_k+1<x₀<y_k+1<y_k ．

当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(x_k)<f(x_k+1)<f(x₀)<f(y_k+1)<f(y_k)，∴x_k+1<x_k+2<x₀<y_k+2<y_k+1

由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有x_n<x_n+1<x₀<y_n+1<y_n．

(III) = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

　 =[(y_n+x_n)－]²+ ． 由(Ⅱ)知 0<y_n+x_n<1．∴－ < y_n+x_n－ < ， ∴ < ()²+ =

4、(06江西22)已知数列满足：，且

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数，不等式。

解：

(1)　　　 将条件变为：1－＝，因此{1－}为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝(n³1)…………1°

(2)　　　 证：据1°得，a₁·a₂·…a_n＝

为证a₁·a₂·……a_n<2·n！

只要证nÎN^*时有>…………2°

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN^*，有

³1－()…………3°

用数学归纳法证明3°式：

(i)　　　　　　　　　　 n＝1时，3°式显然成立，

(ii)　　　　　　　　　 设n＝k时，3°式成立，

即³1－()

则当n＝k+1时，

³(1－())·()

＝1－()－+()

³1－(+)即当n＝k+1时，3°式也成立。

故对一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－()＝1－

＝1－>

故2°式成立，从而结论成立。

(一)选择题：

1、(07上海)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 出成立”．那么，下列命题总成立的是(　)

　　 A、若成立，则当时，均有成立

　　 B、若成立，则当时，均有成立

　　 C、若成立，则当时，均有成立

　　 D、若成立，则当时，均有成立

例1、(06安徽21)数列的前项和为，已知

(Ⅰ)写出与的递推关系式，并求关于的表达式；(Ⅱ)设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

(Ⅱ)由，得。

而，

，

。

例2、(07广东21)已知函数，是方程的两个根()，是的导数，设，．

(1)求的值；

(2)证明：对任意的正整数，都有；

(3)记，求数列的前项和．

已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，(n=1,2,……)

　(1)求的值；

　(2)证明：对任意的正整数n，都有>a；

(3)记(n=1,2,……)，求数列{b_n}的前n项和S_n。

解析：(1)∵，是方程f(x)=0的两个根，

∴；

　(2)，

=，∵，∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号)，∴同，样，……，(n=1,2,……)，

　(3)，而，即，

，同理，，又

。

例3、(05重庆22)数列满足.

(Ⅰ)用数学归纳法证明：；

(Ⅱ)已知不等式对成立，证明：，其中无理数e=2.71828…。

(Ⅰ)证明：(1)当n=2时，，不等式成立.

　 (2)假设当时不等式成立，即

那么.　 这就是说，当时不等式成立.

根据(1)、(2)可知：成立.

(Ⅱ)证法一：

由递推公式及(Ⅰ)的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

　 故　

上式从1到求和可得

即

(Ⅱ)证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得　

上式从2到n求和得　

因

故成立。

(二)填空题：7、方程的根称为的不动点，若函数有唯一不动点，且，，则　　　　　　　 。

(一)选择题：

1、已知中，若，则是(　 )

A、等边三角形　　　 B、钝角三角形　　　　 C、锐角三角形　　　　 D、直角三角形

分析：右边全变为三角形的边，用三角形余弦定理。选D。

2、如果函数是偶函数，那么函数的图象的一条对称轴是直线(　 )

A、　　　　 B、　　　　 C、　　　　　 D、

3、设表示不超过的最大整数，则关于的不等式的解集是(　　 )

A、　　　　　 B、[0，6]　　　　 C、[　　　　 D、[0，7]

4、是单位正方体，黑、白两个蚂蚁从点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”。白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)。设黑、白蚂蚁都爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白蚂蚁的距离是(　 )

A、1　　　 B、　　　 C、　　　 D、0

5、已知向量，在轴上一点使有最小值，则点的坐标是(　　 )

A、　　　 B、(2，0)　　　 C、(3，0)　　　 D、(4，0)

6、是函数在区间(上为减函数的(　 )

A、充分不必要条件　　　　　 B、必要不充分条件

C、充要条件　　　　　　　　 D、既不充分也不必要条件