32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，

⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；

⑵求二面角A－BF－E的大小。

解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，

∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，

∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；

在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，

∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，

DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，

∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，

由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，

∴平面BEF⊥平面DEF　 ………………(6分)

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，

∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，

又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，

∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。

易求得，；

在Rt△中，可求得，

∴在△中，由余弦定理求得，

∴　 ……………………………(12分)

解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；

建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则

,,,,

∴，，…(2分)

设平面BEF、平面DEF的法向量分别为

，则

　 ①

　②， ③, ④.

由①③③④解得,∴,…(4分)

∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………(6分)

⑵设平面ABF的法向量为，∵，

∴，，解得

∴，………(8分)∴……(10分)

由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为

31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查) 　 如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。

　 (1)求证：AB⊥平面PCB；

　 (2)求二面角C-PA-B的大小的余弦值。

　 (1)解：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB。

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB。

又PC∩CD＝C，

∴AB⊥平面PCB。

　 (2)解法一：

　 取AB的中点E，连结CE、DE。

∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝

∵CD⊥平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。

∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角。

由(1)AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝

　 (2)解法二：

∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，

　 则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、

z轴建立空间直角坐标系(如图)。…………6分

设平面PAB的法向量为

得 …………8分

设平面PAC的法向量为，

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………11分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

　 (2)解法三：

∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量。

取AC中点F，∵AB＝BC＝，∴BF⊥AC，

又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC，

∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………9分

　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

22．解：(Ⅰ)由已知条件，得

设 由，

即得　

将①式两边平方并把代入得：

　　　　　　　　 ③

解②、③式得，且有

抛物线方程为。求导得

所以抛物线上A、B两点的切线方程分别是

即　

解出两条切线的交点M的坐标为

所以　

所以为定值，其值为0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在ΔABM中，，

因而

　　　　　 =

　　　　　 =

　　　　　 = =

因为、分别等于A、B到抛物线准线y=的距离，所以

　=，

于是　 S=|AB||FM=()

由知，

且当时，S取得最小值4。

21． 解法一：令g(x)=(x+1)㏑(x+1)－ax

对函数g(x)求导数：g’(x) = ㏑(x+1)+1-a

令g’(x) = 0，解得x = c^n-1-1．　

(ⅰ)当a≤1时，对所有x>0，g′(x)>0，

所以g(x)在[0，+∞)上是增函数，

又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0)，

即当a≤1，对于所有x≥0都有f(x)≥ax　

(ⅱ)当a>1时，对于0<x<e^a-1-1，g′(x)<0，

所以g(x)在(0，e^a-1-1)是减函数，

又g(0)=0，所以对0<x<e^a-1-1有g(x)<g(0)．即f(x)<ax，

所以，当a>1时，不是对所有的x≥0都有f (x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是(-∞，1]．　

解法二：

令

于是不等式成立即为成立

对g(x)求导数得

令，解得。

当 时， ，g(x)为增函数

当 时， ，g(x)为减函数

要对所有都有充要条件为

由此即a 的取值范围是

20．解:(1)n=1时，由(n－1)a_n+1=(n+1)(a_n－1),得a₁=1．

n=2时，a₂=6代入得a₃=15．同理a₄=28,再代入b_n=a_n+n,有b₁=2,b₂=8,b₃=18,b₄=32,由此猜想b_n=2n²．

要证b_n=2n²,只需证a_n=2n²－n．

①当n=1时，a₁=2×1²－1=1成立．

②假设当n=k时，a_k=2k²－k成立．

那么当n=k+1时，由(k－1)a_k+1=(k+1)(a_k－1),得a _k+1=(a_k－1)

=(2k²－k－1)=(2k+1)(k－1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)²－(k+1)．

∴当n=k+1时，a_n=2n²－n正确，从而b_n=2n²．

(2)(++…+)=(++…+)

=［++…+］

=［1－+－+…+－］

=［1+－－］=．

19．解：(1)依题意知三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且侧棱AA₁=3．底面边长为，BP=1，CQ=2，

延长QP交BC的延长线于点E，连结AE．

在△ACE中，AC=，CE=2BC=2，∠ACE=60°于是AE=3，

则AE⊥AC于A，QA⊥AE．

所以∠QAC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角的平面角．

又AC=，

于是tanQAC=．

即面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为．

(2)连A₁P，△A₁AP的面积为，

点Q到平面A₁AP的距离为，

．

18．解：(I)P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，

P(ξ＝3)＝，

ξ的概率分布如下表：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ＝, (或Eξ=3·=1．5)；

(II)乙至多击中目标2次的概率为1－=；

(III)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B₂，则A＝B₁+B₂，

B₁，B₂为互斥事件．

所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．

17．解：设BC=a，(a＞1)，AB=c，AC=b，

．．

将代入得，

代简得．

∵a>1，∴a-1>0

．

当且仅当时，取“=”号，即时，b有最小值．

答：AC最短为，此时，BC长为

14．A=24；　15．1或-2；　　 16．②　 在空间③是不对的．

1． B ABA A 　 DB CCB　AA