摘要：(二)解答题: 2.用数学归纳法证明:当时., (II)对于.已知. 求证:., (III)求出满足等式的所有正整数. 解法1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明: (ⅰ)当时.原不等式成立,当时.左边.右边. 因为.所以左边右边.原不等式成立, (ⅱ)假设当时.不等式成立.即.则当时. ..于是在不等式两边同乘以得 . 所以．即当时.不等式也成立． 综合知.对一切正整数.不等式都成立． (Ⅱ)证:当时.由(Ⅰ)得. 于是.． 知.当时. . ． 即．即当时.不存在满足该等式的正整数． 故只需要讨论的情形: 当时..等式不成立, 当时..等式成立, 当时..等式成立, 当时.为偶数.而为奇数.故.等式不成立, 当时.同的情形可分析出.等式不成立． 综上.所求的只有． 解法2:(Ⅰ)证:当或时.原不等式中等号显然成立.下用数学归纳法证明: 当.且时..． ① (ⅰ)当时.左边.右边.因为.所以.即左边右边.不等式①成立, (ⅱ)假设当时.不等式①成立.即.则当时. 因为.所以．又因为.所以． 于是在不等式两边同乘以得 . 所以．即当时.不等式①也成立． 综上所述.所证不等式成立． (Ⅱ)证:当.时... 而由(Ⅰ).. ． (Ⅲ)解:假设存在正整数使等式成立. 即有． ② 又由(Ⅱ)可得 .与②式矛盾． 故当时.不存在满足该等式的正整数． 下同解法1． 3.已知函数.且存在.使. (I)证明:是上的单调增函数,(II)设. 其中.证明:,(III)证明:. 解: (I)∵f '(x)=3x2-2x+ = 3(x-)2+ >0 . ∴f(x)是R上的单调增函数． (II)∵0<x0< . 即x1<x0<y1．又f(x)是增函数. ∴f(x1)<f(x0)<f(y1)．即x2<x0<y2． 又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1. y2=f(y1)=f()=<=y1.综上. x1<x2<x0<y2<y1． 用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时.上面已证明成立． (2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk ． 当n=k+1时.由f(x)是单调增函数.有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk).∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1 由知对一切n=1.2.-.都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn． (III) = = yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2-(yn+xn)+ =[(yn+xn)-]2+ ． 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1．∴- < yn+xn- < . ∴ < ()2+ = 4.已知数列满足:.且 (1)求数列的通项公式, (2)证明:对于一切正整数.不等式. 解: (1) 将条件变为:1-＝.因此{1-}为一个等比数列.其首项为 1-＝.公比.从而1-＝.据此得an＝----1° (2) 证:据1°得.a1·a2·-an＝ 为证a1·a2·--an<2·n! 只要证nÎN*时有>----2° 显然.左端每个因式都是正数.先证明.对每个nÎN*.有 ³1-()----3° 用数学归纳法证明3°式: (i) n＝1时.3°式显然成立. (ii) 设n＝k时.3°式成立. 即³1-() 则当n＝k+1时. ³(1-())·() ＝1-()-+() ³1-(+)即当n＝k+1时.3°式也成立. 故对一切nÎN*.3°式都成立. 利用3°得.³1-()＝1- ＝1-> 故2°式成立.从而结论成立.

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