1、(江苏省启东中学高三综合测试三)将抛物线y²=4x沿向量a平移得到抛物线y²－4y=4x，则向量a为

A．(－1,2)　　　　　　　 B．(1,－2)　　　　　　　 C．(－4,2)　　　　　　　 D．(4,－2) 答案：A

10.(2004春安徽)已知k＞0，直线l₁：y=kx，l₂：y=－kx.

(1)证明：到l₁、l₂的距离的平方和为定值a(a＞0)的点的轨迹是圆或椭圆；

(2)求到l₁、l₂的距离之和为定值c(c＞0)的点的轨迹.

(1)证明：设点P(x，y)为动点，则

+=a，

整理得+=1.

因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；

当k≠1时，动点的轨迹为椭圆.

(2)解：设点P(x，y)为动点，则

|y－kx|+|y+kx|=c.

当y≥k|x|时，y－kx+y+kx=c，

即y=c；

当y≤－k|x|时，kx－y－y－kx=c，即y=－c；

当－k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx－y+y+kx=c，即x=c；

当－k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y－kx－y－kx=c，即x=－c.

综上，动点的轨迹为矩形.

[探索题](2004福建)如下图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.

分析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标.思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程.

解：设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)、M(x₀，y₀)，依题意知x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，　　　　　 　 ①

得y′=x.

∴过点P的切线的斜率k_切=x₁，

∴直线l的斜率k_l=－=－，

直线l的方程为y－x₁²=－(x－x₁).　　　 　 ②

方法一：联立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M为PQ的中点，

y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

方法二：由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

则x₀==k_l=－，∴x₁=－.

将上式代入②并整理，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

9. 设直线x─y=4a与抛物线y²=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ΔABC的重心的轨迹方程

分析：A，B是定点，影响ΔABC的重心运动的因素是抛物线上的动点C，故选C点的坐标作参数

解：设ΔABC的重心为G(x,y) ,点C的坐标为C(x₀,y₀),A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)

由方程组：消去y并整理得：

x²─12ax+16a²=0

∴x₁+x₂=12a,　 y₁+y₂=(x₁─4a)+(x₂─4a)=(x₁+x₂)─8a=4a

由于G(x,y)为ΔABC的重心,

∴,

∴,　 又点C(x₀,y₀)在抛物线上，

∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：

(3y─4a)²=4a(3x─12a),　 即(y─)² = (x─4a)

又点C与A，B不重合，∴x ¹ (6±)a

8. AB是圆O的直径，且｜AB｜＝2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使｜OP｜＝｜MN｜，求点P的轨迹.

解：以圆心O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系(如下图)，则⊙O的方程为x²+y²＝a²，设点P坐标为(x，y)，并设圆与y轴交于C、D两点，作PQ⊥AB于Q，则有＝.

∵｜OP｜＝｜MN｜，

∴｜OP｜²＝｜OM｜·｜PQ｜.

∴x²+y²＝a｜y｜，即　 x²+(y±)²＝()².

轨迹是分别以CO、OD为直径的两个圆.

7. 已知抛物线C：y=─x²+mx─1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点，求m的取值范围

先分析如下解法：线段AB所在的直线方程是x+y=3,由方程组：

　　　 (1)　

消去y得： x²─(m+1)x+4=0　　 (2) ,

设f(x)= x²─(m+1)x+4, 由于抛物线与线段AB有两个不同交点，

故方程f(x)=0在区间[0,3]上有两个不同根，

∴ 　　∴ 3<m£10/3

点评：解析几何中的轨迹方程，范围问题，都涉及等价性，即充要条件的概念

6.解：设A(x₀，y₀)，

∵tanB+tanC=3，

∴－=3，点A的轨迹方程为

y₀=－(x₀²－6x₀+5)(x₀≠1且x₀≠5).

若G(x，y)为△ABC的重心，则由重心坐标公式：

x=，y=，∴x₀=3x－6，且y₀=3y.

代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为

y－1=－(x－3)²(x≠且x≠).

答案：y－1=－(x－3)²(x≠且x≠)

[解答题]

5.解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,

∴椭圆方程为,

又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,

因此点C的轨迹方程是：(─2<x<0)

6.已知△ABC中，B(1，0)、C(5，0)，点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则　　　　　 △ABC的重心G的轨迹方程为________________.

简答.提示：1-3.ACA；　 4.y= -2x²-3

5. 已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程

4.若动点P在y=2x²+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是________