16．(14分)

⑴ 从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得

　 　　　x轴方向　 　　　　　　(1分)

　 　　y轴方向 　　(1分)

　 　　得：　 (2分)

⑵ 设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时△t，水平位移为△x，则 　　　(1分)

若满足，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向 (2分)

解之得：　 (2分)

即AC间y坐标为 (n = 1，2，3，……) (1分)

⑶ 当n=1时，粒子射出的坐标为

当n=2时，粒子射出的坐标为

当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y₁到y₂之间(如图)y₁到y₂之间的距离为

L= y₁－y₂= 则磁场的最小半径为 　(2分)

若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等(如图)，(轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO₁QO₂为棱形) 由 得：　 (2分)

36、如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l₀到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A(－2l₀，－l₀)到C(－2l₀，0)区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v₀沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′(0，l­₀)沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。

⑴求匀强电场的电场强度E；

⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？

⑶若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

35、如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。折线的顶角∠A＝90°，P、Q是折线上的两点， AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。

(1)若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v₀射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？

(2)撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？

(3)求第(2)中微粒从P点到达Q点所用的时间。

　　 ⑴由电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv₀B

得：E=v₀B(3分)

⑵根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足　 (2分)

其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或。

设圆弧的半径为R，则有2R²=x²，可得： (1分)

又

由①②③式得：，n=1、2、3、……(3分)

⑶当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为

，

，其中n=1、3、5、……(2分)

当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为

，其中n=2、4、6、……(2分)

34、如图所示，在y轴的右方有一磁感应强度为B的方向垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴的下方有一场强为E的方向平行x轴向右的匀强电场。有一铅板放置在y轴处，且与纸面垂直。现有一质量为m、电荷量为q的粒子由静止经过加速电压为U的电场加速，然后以垂直于铅板的方向从A处沿直线穿过铅板，而后从x轴上的D处以与x轴正向夹角为60°的方向进入电场和磁场叠加的区域，最后到达y轴上的C点。已知OD长为l，求：

(1)粒子经过铅板时损失了多少动能？

(2)粒子到达C点时的速度多大？

(1)　　　 由动能定理可知此带电粒子穿过铅板前的动能，--1分

根据，得，--2分

又由几何知识可得(如图)

即，--1分　 故。--1分

由于洛伦兹力不做功，带电粒子穿过铅板后的动能，--1分

因此粒子穿过铅板后动能的损失为　 --1分

(2)从D到C只有电场力对粒子做功，电场力做功与路径无关，根据动能定理，有

，--3分

解得--3分

33、如图所示，粒子源S可以不断地产生质量为m、电荷量为+q的粒子(重力不计)．粒子从O₁孔漂进(初速不计)一个水平方向的加速电场，再经小孔O₂进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B₁，方向如图．虚线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂(图中未画出)．有一块折成直角的硬质塑料板abc(不带电，宽度很窄，厚度不计)放置在PQ、MN之间(截面图如图)，a、c两点恰在分别位于PQ、MN上，ab=bc=L，α= 45°．现使粒子能沿图中虚线O₂O₃进入PQ、MN之间的区域．

(1) 求加速电压U₁．

(2) 假设粒子与硬质塑料板相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律．粒子在PQ、MN之间的区域中运动的时间和路程分别是多少？

(1)粒子源发出的粒子，进入加速电场被加速，速度为v₀，根据能的转化和守恒定律得：　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(2分)

要使粒子能沿图中虚线O₂O₃进入PQ、MN之间的区域，则粒子所受到向上的洛伦兹力与向下的电场力大小相等，得到　 　　　　　　　(2分)

将②式代入①式，得　　 　　　　　　　　　　(1分)

(2)粒子从O₃以速度v₀进入PQ、MN之间的区域，先做匀速直线运动，打到ab板上，以大小为v₀的速度垂直于磁场方向运动．粒子将以半径R在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动，转动一周后打到ab板的下部．由于不计板的厚度，所以质子从第一次打到ab板到第二次打到ab板后运动的时间为粒子在磁场运动一周的时间，即一个周期T．

由和运动学公式，得 　　　　　　　　　　(2分)

粒子在磁场中共碰到2块板，做圆周运动所需的时间为 　　　　　　(2分)

粒子进入磁场中，在v₀方向的总位移s=2Lsin45°，时间为 　　　　(2分)

则t=t₁+t₂= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)

32、如图所示，有位于竖直平面上的半径为R的圆形光滑绝缘轨道，其上半部分处于竖直向下、场强为E的匀强电场中，下半部分处于水平向里的匀强磁场中；质量为m，带正电为q的小球，从轨道的水平直径的M端由静止释放，若小球在某一次通过最低点时对轨道的压力为零，求：

(1)磁感强度B的大小。

(2)小球对轨道最低点的最大压力。

(3)若要小球在圆形轨道内作完整的圆周运动，小球从轨道的水平直径的M端下滑的最小速度。

解：(1)小球在轨道上来回运动时受重力、支持力、洛伦兹力，但只有重力做功，因此小球的机械能守恒。从M到最低点有　　　 　在最低点有 　　即　 联解(1)(2)得　

(2)小球从M到N以及在轨道上来回运动时受重力、支持力、洛伦兹力，但总只有重力做功，因此小球的机械能始终守恒。从N到最低点时对轨道最低点的有最大压力。

在最低点有　　　　　　 　联解(1)(3)得N2=6mg　

(3)要小球在圆形轨道内作完整的圆周运动，此时对圆形轨道的最高点压力为零，

设小球从轨道的水平直径的M端下滑的最小速度为v0，在最高点速度为v1。

从M→轨道的最高点，据动能定理：

　 在圆形轨道的最高点：　 联解(4)(5)得　

20、(14分)设集合W由满足下列两个条件的数列构成：

　①；②存在实数M，使。(n为正整数)

(Ⅰ)在只有5项的有限数列、 中，其中=3，，；；试判断数列、是否为集合W中的元素；

(Ⅱ)设是各项为正数的等比数列，是其前项和，，，试证明，并写出的取值范围；

(Ⅲ)设数列，对于满足条件的M的最小值M₀,都有()。

求证：数列单调递增。

19、(13分)在直角坐标系中，点到F₁、F₂的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．

(1)求轨迹的方程；

(2)当时，求与的关系，并证明直线过定点．

18、(13分)已知函数。

(Ⅰ)当时，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是，求的值.

17、(14分)某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响。已知师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为。

(Ⅰ)求徒弟加工2个零件都是精品的概率；

(Ⅱ)求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；

(Ⅲ)设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值。