6、如右图所示，定义在D上的函数，如果满足：对，常数A，都有成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界．(提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零)

(1)试判断函数在上是否有下界？并说明理由；

(2)已知某质点的运动方程为，要使在上的每一时刻该质点的瞬时速度是以为下界的函数，求实数a的取值范围．

解：1)求导或基本不等式的推广都可以证明有下界(A=32)存在．

(2)质点在上的每一时刻该质点的瞬时速度。

依题意得对有　

　即：对恒成立 ．所以　 ．　

5、如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.

(1)已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；

(2)已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，

在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，若存在，则求出函数的解析式.

(3)根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的 相似椭圆之间的三种性质(不需证明)；

、解：(1)椭圆与相似. ………2分

因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，

而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，

因此两个等腰三角形相似，且相似比为　 ……… 6分

(2)椭圆的方程为：.　　　 ……8分

假定存在，则设、所在直线为，中点为.

则.　　　 ………10分

所以.

中点在直线上，所以有.　　　　 .

.　　

(3)椭圆的方程为：.　　　　

两个相似椭圆之间的性质有：　　　　　　

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

①　　 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

②　　 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.　

4、若有穷数列是正整数)，满足即(是正整数，且)就称该数列为“对称数列”

(I)　　　　　　　　　 已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，试写出的每一项；

(II)　　　　　　　 已知是项数的对称数列，且构成首项为70，公差为-4的等差数列，数列的前项和为取到最大值并求此最大值；

(III)　　　　　　 对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得1，2，2²，……2^m-1称谓数列中的连续项；当，试求其中该数列的前2009项的和

解(I)设公差为，由 得

数列为3，5，7，9，7，5，3，……2分

(II)……3分

又=……4分

(III)所有可能的“对称数列”是①1，2，2²

　　　 ②

　　　 ③

　　　 ④……9分

当

　对于②当

当

对于③当时，

当

分

对于④当时，

当

3、如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.

(1)判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：

①　 f(x)＝ ；　　 ②　 g(x)＝sinx (x∈(0，π)).

(2)若函数h(x)＝lnx (x∈［M，+∞))是保三角形函数，求M的最小值.

(1)[答]f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.

[证明]①　 f(x)＝ 是保三角形函数.

对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，

f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .

因为(+)²＝a+2+b＞c+2＞()²，所以+＞.

同理可以证明：+＞，+＞.

所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数. ………………4分

②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个

三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.

所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.……………8分

(2)[解]M的最小值为2.　　　　 ………… 10分

(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，+∞))是保三角形函数.

对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，+∞)，且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，

则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.

因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna+lnb＞lnc.

同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb.

所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.

故函数h(x)＝lnx (x∈［M，+∞)，M≥2)，是保三角形函数.　　　　 ……… 13分

(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，+∞))不是保三角形函数.

当0<M＜2时，取三个数M，M，M²∈［M，+∞)，

因为0＜M＜2，所以M+M＝2M＞M²，所以M，M，M²是某个三角形的三条边长，

而lnM+lnM＝2lnM＝lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能为某个三角形的三边长，所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，+∞))不是保三角形函数.

综上所述：M的最小值为2.　　　 ………… 16分

1、已知函数

(I)求函数的极值；

(Ⅱ)对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线，特别地，当时，又称为的伴随切线。

(i)求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

(ii)是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

解法一：

　　　 (I) 　　　　　　 当时，，函数在内是增函数，

　　　　　　 函数没有极值

　　　　　　 当时，令得

　　　　　　 当变化时，与变化情况如下表：

	+	0	-
	单调递增	极大值	单调递减

　　　　　　 当时，取得极大值

　　　　　　 综上，当时，没有极值；

　　　　　　 当时，的极大值为，没有极小值

　　　 (Ⅱ)(i)设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点使得

　　　　　　 ，且点不在上。

　　　　　 即证存在，使得

　　　　　 即成立，且点不在上

　　　　　 以下证明方程在内有解。

　　　 　　记则

　　　　　 令

　　　　　 在内是减函数，

　　　　　 取则，即

　　　　　 同理可证

　　　　　 函数在()内有零点

　　　　　 即方程在内有解

　　　　 又对于函数取，则，

　　　　　 可知即点不在上。

　　　　　 又是增函数，的零点是唯一的，

　　　　　 即方程在内有唯一解

　　　　　 综上，曲线上的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的

　　　 (ii)取曲线，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

　　　　　 证明如下：

　　　　　 设是曲线上任意两点，

　　　　　 则

　 　　　　即曲线的任意一条弦均有伴随切线

　　　　　 注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分，若只给

曲线，没有给出正确的证明，不给分。

解法二：

　　　 (I)同解法一。

　　　 (Ⅱ)(i)设是曲线上的任意两点，要证明 有伴随切线，只需证明存在点，，使得

　　　　　 且点不在上

　　　　　 即证存在，使得

　　　　　 即成立，且点不在上

　　　　　 以下证明方程在内有解

　　　　　 设

　　　　　 　则

　　　　　 记

　　　　　 在内是增函数，

　　　　　 同理

　　　　　 方程在内有解

　　　　　 又对于函数

　　　　　 可知即点不在上。

　　　　　 又在内是增函数。

　　　　　 方程在内有唯一解

　　　　　 综上，曲线上的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的

　　　　　 (ii)同解法一。

2下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为A_ij.

1　　 4　　 7　　 10　　 13　　 …

4　　 8　　 12　　 16　　 20　　 …

7　　 12　　 17　　 22　　 27　　 …

10　　 16　　 22　　 28　　 34　　 …

13　　 20　　 27　　 34　　 41　　 …

…　 …　 …　 …

(1)证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；

(2)设　S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列. 试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；

(3)对于(2)中的数列，是否存在正整数p和r　，使得成等差数列．若存在，写出的一组解(不必写出推理过程)；若不存在，请说明理由．

(1)[证明]因为第一行数组成的数列{A_1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A_{1 j}＝1+(j－1)×3＝3 j－2，

第二行数组成的数列{A_2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，

所以A_{2 j}＝4+(j－1)×4＝4j　 ………………………2分

所以A_{2 j}－A_{1 j}＝4 j－(3 j－2)＝j+2，

所以第j列数组成的数列{ A_ij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，

公差为 j+2的等差数列，

所以A_ij＝3 j－2+(i－1) ×(j+2) ＝ij+2i+2j－4

＝(i+3) (j+2) 8．　　　 ……………5分

故A_ij+8=(i+3) (j+2)是合数．

所以当＝8时，对任意正整数i、j，

总是合数　　　 …………6分

(2)[证明](反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，即　　　　　 ……………7分

∵b_n＝A_nn ＝(n+2)²－4

∴

得，

即，　　　 10分

又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，

∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，

使得成等比数列．……………12分

(3)[解]假设存在满足条件的，那么

即.　　　　 ……… 14分

不妨令 得

所以存在使得成等差数列．　 …… 16分

(注：第(3)问中数组不唯一，例如也可以)

17、设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“海宝”函数. 给出下列函数：

①；②；③；④

其中是“海宝”函数的序号为　　 ③ 　　　　　　．

16、定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列, 且a₁=2, 公和为5,那么a₁₈的值为　 3，　　 ,且这个数列的前21项和S₂₁的值为　 52　　　　 .

15、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x²，值域为{1，4}的“同族函数”共有__9_____个

14．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： 　①函数的定义域是R，值域是[0，]；

　②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；

③函数是周期函数，最小正周期是1；

④ 函数在上是增函数；　　　　

则其中真命题是__①②③　　　 　．　

13、第29届奥运会在北京举行.设数列=，定义使为整数的实数k为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]内的所有奥运吉祥数之和为____2026____．