摘要：已知函数 (I)求函数的极值, (Ⅱ)对于曲线上的不同两点.如果存在曲线上的点.且.使得曲线在点处的切线.则称为弦的伴随切线.特别地.当时.又称为的伴随切线. (i)求证:曲线的任意一条弦均有伴随切线.并且伴随切线是唯一的, (ii)是否存在曲线.使得曲线的任意一条弦均有伴随切线?若存在.给出一条这样的曲线.并证明你的结论,若不存在.说明理由. 解法一: (I) 当时..函数在内是增函数. 函数没有极值 当时.令得 当变化时.与变化情况如下表: + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 当时.取得极大值 综上.当时.没有极值, 当时.的极大值为.没有极小值 设是曲线上的任意两点.要证明有伴随切线.只需证明存在点使得 .且点不在上. 即证存在.使得 即成立.且点不在上 以下证明方程在内有解. 记则 令 在内是减函数. 取则.即 同理可证 函数在()内有零点 即方程在内有解 又对于函数取.则. 可知即点不在上. 又是增函数.的零点是唯一的. 即方程在内有唯一解 综上.曲线上的任意一条弦均有伴随切线.并且伴随切线是唯一的 (ii)取曲线.则曲线的任意一条弦均有伴随切线. 证明如下: 设是曲线上任意两点. 则 即曲线的任意一条弦均有伴随切线 注:只要考生给出一条满足条件的曲线.并给出正确证明.均给满分.若只给 曲线.没有给出正确的证明.不给分. 解法二: (I)同解法一. 设是曲线上的任意两点.要证明 有伴随切线.只需证明存在点..使得 且点不在上 即证存在.使得 即成立.且点不在上 以下证明方程在内有解 设 则 记 在内是增函数. 同理 方程在内有解 又对于函数 可知即点不在上. 又在内是增函数. 方程在内有唯一解 综上.曲线上的任意一条弦均有伴随切线.并且伴随切线是唯一的 (ii)同解法一. 2下述数阵称为“森德拉姆筛 .记为S．其特点是每行每列都是等差数列.第i行第j列的数记为Aij. 1 4 7 10 13 - 4 8 12 16 20 - 7 12 17 22 27 - 10 16 22 28 34 - 13 20 27 34 41 - - - - - (1)证明:存在常数.对任意正整数i.j.总是合数, (2)设 S中主对角线上的数1.8.17.28.41.-组成数列. 试证不存在正整数k和m.使得成等比数列, 中的数列.是否存在正整数p和r .使得成等差数列．若存在.写出的一组解,若不存在.请说明理由． (1)[证明]因为第一行数组成的数列{A1j}是以1为首项.公差为3的等差数列.所以A1 j＝1+(j-1)×3＝3 j-2. 第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2.-)是以4为首项.公差为4的等差数列. 所以A2 j＝4+(j-1)×4＝4j ---------2分 所以A2 j-A1 j＝4 j-(3 j-2)＝j+2. 所以第j列数组成的数列{ Aij}(i＝1,2.-)是以3 j-2为首项. 公差为 j+2的等差数列. 所以Aij＝3 j-2+(i-1) ×(j+2) ＝ij+2i+2j-4 ＝(i+3) (j+2) 8． -----5分 故Aij+8=(i+3) (j+2)是合数． 所以当＝8时.对任意正整数i.j. 总是合数 ----6分 假设存在k.m..使得成等比数列.即 -----7分 ∵bn＝Ann ＝(n+2)2-4 ∴ 得. 即. 10分 又∵.且k.m∈N.∴k≥2.m≥3. ∴.这与∈Z矛盾.所以不存在正整数k和m. 使得成等比数列．-----12分 (3)[解]假设存在满足条件的.那么 即. --- 14分 不妨令 得 所以存在使得成等差数列． -- 16分 问中数组不唯一.例如也可以)

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