摘要：如果对任意一个三角形.只要它的三边长a.b.c都在函数f(x)的定义域内.就有f(a).f(b).f(c)也是某个三角形的三边长.则称f(x)为“保三角形函数 . (1)判断下列函数是不是“保三角形函数 .并证明你的结论: ① f(x)＝ , ② g(x)＝sinx (x∈. (2)若函数h(x)＝lnx (x∈［M.+∞))是保三角形函数.求M的最小值. (1)[答]f(x)＝ 是保三角形函数.g(x)＝sinx (x∈不是保三角形函数. [证明]① f(x)＝ 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a.b.c.则a+b＞c.b+c＞a.c+a＞b. f(a)＝ .f(b)＝ .f(c)＝ . 因为(+)2＝a+2+b＞c+2＞()2.所以+＞. 同理可以证明:+＞.+＞. 所以f(a).f(b).f(c)也是某个三角形的三边长.故 f(x)＝ 是保三角形函数. ------4分 ②g(x)＝sinx (x∈不是保三角形函数. 取.显然这三个数能作为一个 三角形的三条边的长. 而sin＝1.sin＝.不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)＝sinx (x∈不是保三角形函数.-----8分 (2)[解]M的最小值为2. ---- 10分 (i)首先证明当M≥2时.函数h(x)＝lnx (x∈［M.+∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a.b.c∈［M.+∞).且a+b＞c.b+c＞a.c+a＞b. 则h(a)＝lna.h(b)＝lnb.h(c)＝lnc. 因为a≥2.b≥2.a+b＞c.所以(a-1)(b-1)≥1.所以ab≥a+b＞c.所以lnab＞lnc. 即lna+lnb＞lnc. 同理可证明lnb+lnc＞lna.lnc+lna＞lnb. 所以lna.lnb.lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)＝lnx (x∈［M.+∞).M≥2).是保三角形函数. --- 13分 (ii)其次证明当0<M＜2时.h(x)＝lnx (x∈［M.+∞))不是保三角形函数. 当0<M＜2时.取三个数M.M.M2∈［M.+∞). 因为0＜M＜2.所以M+M＝2M＞M2.所以M.M.M2是某个三角形的三条边长. 而lnM+lnM＝2lnM＝lnM2.所以lnM.lnM.lnM2不能为某个三角形的三边长.所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数. 所以.当M＜2时.h(x)＝lnx (x∈［M.+∞))不是保三角形函数. 综上所述:M的最小值为2. ---- 16分

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