7．给(一个角的三角函数)值求(另一个三角函数)值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和(差)的三角公式求得。

[举例1]设α、β均为锐角，cosα＝ ，cos(α+β)=－ ,则cosβ＝＿＿＿.

解析：∵α、β均为锐角，∴sinα=, sin(α+β)=, cosβ=cos[(α+β)- α]

=(－)+=.(此类问题不宜解方程组)

[举例2]已知，则的值　　　　　　

解析：=+-，2+=++，∴

=。(这里“变角”的灵感与“给值求值”的做法一脉相承)。

[巩固]已知向量，，||=，

(1)　　　 求的值

(2)　　　 若且，求的值

[迁移]已知a,b是锐角，sina=x,cosb=y,cos(a+b)=－，则y与x的函数关系式为(　)

A．y=­－+x (<x<1)　　　　　　　　 B．y=­－+x (0<x<1)

C．y=­－－x (0<x<)　　　　　　　 D．y=­－－x (0<x<1)

简答

6.能熟练掌握由tanα的值(m)求sinα、cosα的值的方法：若α是锐角，就根据tanα的值画一个直角三角形，在该直角三角形中求sinα、cosα；若α不一定是锐角，则由方程组：sinα=mcosα, sin²α+cos²α=1解得，或“弦化切”。在三角变换中，要注意1的功用。“弦化切”时常把1化为正弦与余弦的平方；在三角变换中常用两倍角余弦公式消去1,如：，，，，等,此外.

[举例]已知,其中为第二象限角,求(1),的值;

(2) 的值;

解析：(1)将代入得：()=1

=，又为第二象限角，∴，=

(2)原式=。

(分子、分母同除以是“弦化切”的基本动作)

[巩固]已知2sin-cos=1求sin+2cos的值。

[迁移] 设向量=(1+cosα，sinα)，=(1-cosβ，sinβ)，=(1，0)，α∈(0，)，β∈(，2)，与的夹角为θ₁，与的夹角为θ₂，且θ₁―θ₂=，求的值。

5. 三角变换中遇到形如： sinα±cosα=m的条件，如果是研究性质的问题，常“合二为一”；如果是求值的问题，常两边平方，得到sinαcosα的值并判断出sinα、cosα的符号，再与sinα±cosα=m联立，解方程组。sinα±cosα与sinαcosα“三兄妹”关系密切，要做到见此及彼；其中sinαcosα=[(sinα+cosα)²-1]= [1-(sinα-cosα)²],

sinα+cosα与sinα-cosα通过sinαcosα实现过渡.

[举例] 已知a，若，求的值。

解析：思路一：联立方程①和②，

解得：或∵a∴>0,后一组接舍去，∴=-。

思路二：由①平方得： ③，联立①③运用韦达定理求得两组和的值，舍去一组后得出的值。思路三：利用③容易求得，注意到<0即和异号，∵a∴>0, <0；

∴ ④；联立①④得到和的值，再求出的值。

思路四：由①平方得：<0，∵a∴>0, <0，∴a； 又>0, ∴<-1,∴a,∴,∴=再用半角公式求出和的值。

[巩固]若，则等于　　　　　　 (　)

A. 1　　　　　 　 B. 2　 　　　　　　 C. –1　　 　　　　 D. –2

[迁移1]设θ是三角形的一个内角，且Sinθ+Cosθ=，则方程x²Sinθ+y²Cosθ=1表示的曲线是(A)焦点在x轴上的椭圆　　(B焦点在y轴上的椭圆　　　 (　 　)

(C)焦点在x轴上的双曲线　(D)焦点在y轴上的双曲线

[迁移2]函数的值域为　　　　

4．求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必须熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽”皆源于此；而在“无条件”求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。

[举例]的值是：　 (　　 )

A．-　　　　　 B．-　　　　 C． -　　　　 D． -　　　　

解析：用两倍角公式，很快就会发现进行不下去。尝试“大化小”，原式==

　，选C。(把10⁰换成30⁰-20⁰是关键)。

[巩固1]=　　　

[巩固2] =　　　

[迁移] 若，则　

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

3. 熟悉将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的套路。即：运用两倍角正(余)弦公式及半角公式降次、(其中sin²x=(1-cos2x)，cos²x=(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必须牢记)再引入辅助角(特别注意，经常弄错)使用两角和、差的正弦、余弦公式(合二为一)。这是三角变换中最常用的一套“组合拳”，要能娴熟而精准地使用。

[举例]函数f(x)=6sinxcosx-8sin²x取得最大值时tan2x的值为　　　 。

解析：f(x)=3sin2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(sin2x+cos2x)-4=5sin(2x+)-4

(其中tan=),当且仅当2x+=2k+即2x=2k+-， k∈Z时函数f(x) 取得最大值，此时tan2x=tan(2k+-)=cot=。注意：上述过程中“5(sin2x+cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证辅助角不出错的最重要的关口。

[巩固] 函数的最大值为　　

2．已知一个角的某一三角函数值求角的大小，一定要根据角的范围来确定；如： sin=m(|m|<1),则=2k+arcsinm或=2k+-arcsinm；cos=m(|m|<1),则=2k±arccosm; tan=m,则=k+arctanm， k∈Z等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinα=sinβ, 则α=2k+β, 或α=2k+-β，kZ; 若cosα=cosβ, 则α=2kβ; 若tanα=tanβ, 则α=k+β,kZ 　等。

[举例1]已知sin2A=sin2B,则⊿ABC的形状为__________

解析：∵ sin2A=sin2B 且2A+2B∈(0，2)，∴2A=2B或2A+2B=

A=B或A+B=　 即⊿ABC是等腰或直角三角形。

[举例2]已知sin=-,∈(-,-)，求

解析：sin=-，则=2k- 或=2k， k∈Z，又∈(-,-)

∴=。

　[巩固] 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则( )

A．和都是锐角三角形　　　 B．和都是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

[提高]已知∈(0，)，则直线x+ytan+1=0的倾角

A．　 B．-　　 C．+　　 D．-

1．若α∈，则sinα< α<tanα；角的终边“靠近”Y轴时，正弦、正切绝对值较大，角的终边“靠近”X轴时，余弦、余切绝对值较大 。

[举例1]若x ∈，求方程sinx=tanx解的个数。

解析：在图象中要能体现出(0，)上sinα<tanα，注意：横纵坐标的长度单位要一致

(>1)，(图象略)1个。

[举例2]已知q是第二象限的角，且<，那么+的取值范围是　　　　　　　　　

　 A　 (-1、0)　　　 B　 (1、)　　　　 C　 (-1、1)　　　　 D　 (-、-1)

解析：q是第二象限的角，则∈(k+，k+)k∈Z，(一、三象限中“靠近”y轴的部分)，∵<，∴不在第一象限(第一象限正、余弦均为正，“靠近”y轴正弦较大)，即∈(2 k+，2 k+)k∈Z，+=，

+∈(2 k+，2 k+)，由图象知：∈(-、-1)，选D。

[巩固1]若且＜＜，则的值为 (　　 )

A．或　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

[巩固2]⊿ABC的内角A满足：且tanA-sinA<0,sinA+cosA>0,则A的取值范围是___

5. [巩固1] D，[巩固2]B，

4. [巩固1] C, [巩固2] =2 cos(2x-)

1． [巩固] ①②③4；2．[巩固]①②④， [迁移] f(x)=2sin(2x-)， ①由f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)知：x₁、x₂分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得，②偶，③视2x-为一个角，则∈[-，-]，函数在 [-，-]上单调，则-≤，得0<≤,又为整数，∴=1。3．[巩固] 注意A未必是正数，C， [迁移] y=3sin(x+)+2