4．16世纪晚期，山东某地开始出现“地多烟草、木棉转卖四方，五谷之利不及其半”的情况。这说明当时该地　　

①农业经济衰退　 ②农业结构发生变化　 ③商品经济发展 ④农产品加工业兴起

A．①②　　 B．②③　　 C．③④　　 D．①③

3.据《东京梦华录》等记载，宋代都城多见“当街列床凳，堆垛冰雪”出售凉食和专向客商出租铺席宅舍等现象。这反映了　　

A．生活习俗改变　　　　 B．经商方式不受限制

C．官府鼓励经商　　　　 D．城市商业功能增强

2．清代一位军机大臣用一首诗来形容自己的工作：“依样胡芦画不难，胡芦变化有千端。画成依样旧胡芦，要把胡芦仔细看。”该诗直接说明了军机大臣　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．完全听命于皇帝，处理军国大事　　 B．在皇帝心目中没有任何地位

　　 C．接替丞相职权，替皇帝处理政事　　 D．办事非常认真仔细

1．春秋时期，赵简子说“……克敌者，上大夫受县，下大夫受郡，士田十万，庶人工商遂”。这表明春秋时　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．世卿世禄的分封关系受到冲击　　 　　 B．以郡统县的体制普遍建立

　　 C．工商皆本思想出现　　 　　　　　　　　　　　 D．血缘政治隶属关系得到空前加强

矢量 与 轴， 轴， 轴正向间夹角 称为 的方向角。它们的余弦 称为方向余弦。

由投影定理有：

， ， 　　　　　

，

例1 设 为空间两点，求 的方向余弦。

解

例2 设 求

解 ，

例3(定比分点坐标)设 为两已知点，在连接 两点的直线上另有一点 ，使有向线段 与 的长度之比为 ，求p点坐标。

解 由题意

而

，即

即

当 时，得中点坐标公式：　

在空间直角坐标系中，设点 ,作矢量 (矢径)，则 在 轴， 轴， 轴上的投影分别为 ，又设 分别是与 轴， 轴， 轴同方向的单位矢量(叫基本单位矢量)，则

设点 ，作矢量 ，显然 　　　　　　 　　　　　　　

由以上讨论知：空间中任一矢量 ，可写成

上式称为 的坐标表达式， 称为 的坐标，它们分别是 在 轴， 轴， 轴上的投影，所以 也可简记为

　、 、 分别称为矢量 在x轴、y轴、z轴上的分矢量。显然有

设 ， ，

则 ，

即

即

前面讲过　∥ 的充要条件是 ,即 ，所以 ∥ 的充要条件是：

有向线段 的值：

设 是数轴u上的有向线段(见图)

数 满足 ，且 与u同向， 取正； 与u反向， 取负；称 为u轴上有向线段 的值，记为AB。设 是与u轴同方向的单位矢量，则

矢量 在数轴u上的投影：

设矢量 的起点A和终点B在数轴u上的投影分别为 和 ，则u轴上有向线段 的值 叫矢量 在数轴u上的投影，记作 或

　　投影定理：矢量 在轴u上的投影为

注： 时， ； 时， ； 时， 。

定理： ，( 为常数)

定理：

2.数与矢量的乘法

数 与矢量 的乘积仍为矢量,其模 ，其方向为： 时， 与 的方向相同； 时， 与 的方向相反； 。

运算性质：(1)

　(2)

　(3)

其中， 为常数。

结论：　(1)对任何非零矢量 ，有 或

　　　　(2)设 、 是两个非零矢量，则 的充要条件是：存在唯 　　　　　　　　一的数 ，使 。

第三节 矢量的坐标表示

1.加减法(平行四边形法则，三角形法则)

　　　运算律：　(1)交换律： 　

　　　　　(2)结合律：

　　减法

即有大小又有方向的量叫矢量(向量)。记作： 等，A为起点B为终点的矢量记为 。

矢量的模：矢量的大小称为模，记 。

单位矢量：模为1的矢量叫单位矢量，与 方向相同的单位矢量记作 。

零矢量：模为0的矢量叫零矢量，记作 ，其方向不定。

矢量相等：模相等，方向相同的两个矢量 与 称为相等，记作：　 　　　　　　　 = 。

负矢量：与 的模相等，方向相反的矢量称为 的负矢量记作：– 。

自由矢量：与起点无关的矢量叫自由矢量。

两个非零矢量 与 的夹角记为　 ， ，当 或 时，称为 与 平行，记作 ，当 时称 与 垂直记为 。