2. 函数和、差、积、商的微分法则

(C为常数)

1. 由基本导数公式可得基本微分公式，书中168页的表要背下来。

3．设 ，则

例16 设下列函数可导，求它们的导数

(1) (2)

(3)

解 (1)

(2)

(3)

例17 设 可导，且 ，求

解

例18 已知 ，求

解 ， ， ，

所以

例19 设 是可导的偶函数，证明： 是奇函数。

证明 ：因 是偶函数，

等号两边对 求导， ，即

所以 是奇函数。

此结论也可用导数的定义证明。

2．设 ，则

1．设 ，则

(1)

(2)

(3)

2.　当积分上限的函数是复合函数时，有

更一般的有

例1 (1) ， 则： =

　　(2) ，则：

　　(4) ，则：

　　(5)设 ，求:

此题中 为函数的自变量， 为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式

由求导法则

=

　　= +

　　(6) =0(因定积分的结果为一常数，故导数为零)

　　(7)设 是方程 所确定的函数，求

解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有

　　　　 　　则 =

例2 设 ，求 。

例3 设 为连续函数，(1)若 ，则 ______　,

　　 ___　。　　　　　　(2)

例4 求

解 这是 型不定式，用罗必塔法则

定理 (牛顿--莱公式)如果函数 是连续函数 在区间

上的一个原函数，则

此公式表明：一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。

例5

解 原式

例6

解 原式

例7 求

解 利用定积分的可加性分段积分，

= + =2

例8

解 被积函数是分段函数，分段点 在积分区间 内，

= + =1/4

例9

解 原式

注意： 是分段函数

1.　由原函数的定义知, 是连续函数 的一个原函数，因此，此公式 揭示了定积分与原函数之间的联系。

3.　规定

　 时 ,

在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积；

在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积(此时，曲边梯形在 轴的下方)；

例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值

(1) (三角形面积) (2) (半圆面积)

设 可积

性质1

性质2

性质3 (定积分对区间的可加性) 对任何三个不同的数 ，有

性质4

性质5 如果在区间 上， ，则

推论

性质6 (定积分的估值) 设　M　及　m　分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则

性质7 (定积分中值定理)

如果函数 在区间 上连续，则在 上至少有一点 ，使　 成立　

例2 比较下面两个积分的大小

　　　 与

解 设 ，

在(0，1)内， 单调增

当 时，有 ，即

由性质5，

例3 估计积分 的值

解 只需求出 在区间 上的最大值、最小值即可。设 ，

，令 ，得 ，

所以，在区间 上

由性质6，

设 在区间 上连续， ，则定积分 一定存在， 当 在 上变动时，它构成了一个 的函数，称为 的变上限积分函数， 记作 即

定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在 上具有导数，且导数是 ，即

说明：

2.　由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以

1.　如果(*)式右边极限存在，称 在区间 可积，下面两类函数在区间 可积，(1) 在区间 上连续，则 在 可积。(2) 在区间 上有界且只有有限个间断点，则 在 上可积。