数形结合是解题的重要手段.但是什么时候需要“结合”,又该如何结合呢？

[题20](武汉市五月供题,7题)若△ABC的内角A,B,C的对边依次为a,b,c.P是△ABC内一点，且满足，则点P必为△ABC的(　　　　 )

A.内心　　　　　　　　　　 B.外心　 　　　　　　　C.重心　　　　　　　 D.垂心

[分析]这道题“有数无形”，如果仅从数据关系去直接推算，的确很难，其运输量不是一道小题所应该承受的.但若多考察“形”，即三角形心的位置所在，是可以轻而易举地找到正确答案的.

[解析]题设△ABC不可能是正三角形.否则其四心重合，选项不唯一.

点P必在三角形内部，故可排除B,D;假定P为三角形重心，则必有：

代入，得，即

.不妨设△ABC为不等边三角形，则有.

这说明与共线，而这是不可能的.于是排除C,选A.

[题21]已知函数(x∈[-8π，8π])的最大值为M，最小值为m，

则M+m=　　　 　　　　

[分析]本题也是“有数无形”，且不可能用数据计算与推理方法直接解决.出路在考察函数的奇偶性即最值在曲线中的位置.

[解析]原式变形得：

令当x∈[-8π，8π]时，是奇函数.不论其单调性如何，其图象的最高点与最低点必关于原点对称.也就是说，如果最大值为，那么最小值必为.由此得：M+m=

[题22]_当时，方程组 _{最多有　　　　　　　 解？}

[分析]请注意题目本身的要求,是问方程组有几个解,而不是

问其解是什么.既如此,先取特值,再配合画图形就可轻松解决.

[解析]取k=1，得_{直线与曲线，或}

_{.问题转化为：考察直线与双椭圆}

_{有几个公共点.}

[题23](04.重庆卷，16题)对任意实数k，直线

_{[分析]考察图形的形状.当直线通过椭圆上或椭圆内的点时，它与椭圆一定相切或相交.}

[解析]椭圆的标准方程是：

在方程(1)中，命得

解得，或3.如图，当时，无论直线的斜率k

取什么实数，该直线必通过以A(0，3)，B(0，-1)为端点

的线段AB上一点，而线段AB是椭圆(1)的弦.这

就是说，当时，直线 恒过椭

圆(1)内或上一点，因而与椭圆恒有公共点. ∴.

[题24](08.福建卷. (12)题)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象

如右图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　　　　　 )

　[分析]本题反过来，“形”有余而数据不足.只有从“形”中发掘隐藏的数据特点，才有可能找到正确的选项.

[解析]首先得把原图读懂.原图中且递减，说明是上凸且递增的函数，选项A，C肯定不对；与的图象交点的横坐标是说明两函数在点处的切线有相同的斜率，也就是它们在点处有公切线，或者平行的切线. 所以B不对，正确的选项是D.

　[题25](08.江苏卷)△ABC中，若AB=2, AC=BC ，则

的最大值 　　　　　　．

[分析]本题说的是“形”，而并未给出有关的“形”，所以解题

必须从画出“形”，且充分研究这个“形”的数据特点着手.

[解析]以直线AB为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立如图的直角坐标系，则有B(2，0).设动点C(x，y)，那么由

.化简得：

.故点C在以M(4，0)为圆心，为半径的圆上.

(不含圆与x轴的两个交点)当且仅当CM⊥x轴时，.

[题26]在闭区间上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是　　　　　　　

[分析]本题隐含着的“形”只是数轴，但仅凭数轴很难找到

正确答案.对此我们索性“解放思想”，为之配备一个更高级的“形”.

[解析]在如图10的直角坐标系中，构造边长为2的正方形ABCD,

则正方形及其边界上任一点P(x,y)满足x,y∈.取M(0,1),

N(1,0),连结MN，则图中阴影部分及其边界上任意一点均满足

[题27]若，则的值为(　　　 　　)

A.2　　　　　　　 B.0　　　　　 　C. 　　　　　　　D.

[分析]显然本题与“形”无关没有必要画蛇添足地去找形.那么就去找最合适的数据代入吧.

[解析]在中，令得：

再令　　　　　　　　 (1)-(2)：，故选C.

[题28](理)已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范是　　　　　　　　　 .

[分析]本题又是有数无形.没有必要去解方程组，只需要画出合适的曲线考察其交点就行.

[解析]当时，.可知曲线是以原点为中心的上半椭圆(当m=1时表示上半圆).

当时，.可知曲线是由两条线段连成的折线.

又由于是以为周期的周期函数，所以这个函数的基本图象如图 所示.

从图中我们看到，当时时，曲线与直线有且只有3个交点.

为确保恰有5个实数解，必须直线与曲线在下一个周期内恰有两个交点，而在更下一个周期内没有交点.显然，当x＞3时，直线与曲线的折线部分不可能有交点，只需考查直线与曲线的非折线部分的交点.

当时，.由

方程(1)应有不等二实根，

化简得.已知，得

当时，，由

方程(3)应没有实数根，

化简得.已知，得

综合(2)，(4)，所求的取值范围.是.

[题29](2009. 湖南卷.15题)将正分割成个全等的小正三角形(图2，图3分别给出了n=2, 3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有 ，

[分析]这道题也很难，是名副其实的；不小的小题.

出路是：首先读懂题意，找出数列的发展趋势与规律.

[解析](1)如图1 ，的含义是将正△ABC各边

(或分点)所赋予的数据之和.

不妨设三顶之数分别为a,b,c.△DEF三顶之数依次为d,e,f.由条件：a+b+c=1.由于D,E,F分别是BC,CA,AB的中点，所以d,e,f分别是b,c;c,a;a,b的等差中项.故.于是.这就是的来历.

如图2，的含义是将正△ABC各边依次3等分，连成9个小正三角形后，求图中10个顶点(或分点)所赋予的数据之和.设△ABC三顶之数分别为a,b,c.各个三等分点依次为分别表示数与(2)同理有： .而G为△ABC的重心，根据重心原理与公式，它表示数.故于是所求.

为完整起见，我们补充.即没有分点时，△ABC各顶数据之和是1.再补充.即△ABC浓缩到它的重心G时 ，对应的数应为，

如此类推，的含义是将正△ABC各边依次4等分，连成16个小正三角形后，求图中15个顶点(或分点)所赋予的数据之和.与(2)，(3)同理，△ABC的顶点及各边所有分点所表示的数据之和为4，而由于等差数列的性质，△MNP各顶数据之和还是1.所以.

于是我们得到一连串数据：，，，.

仔细研究后我们发现：.据此我们继续推测：

；；….

将以上得到的系列数据1，2，5，7，…，其通分整理得：.

这些数据中的分母都是3，分子是我们熟悉的数列1+2，1+2+3，1+2+3+4，1+2+3+4+5，…. 其通项是.所以我们进一步推测：.

这个结果是可以用数学故纳法证明的，这里从略.

小结：数形结合的要点是：有形无数去找数，有数无形去配图.形是直观来引路，数是灵魂寻归属.

4.直线AD与OB成45°角；　　 5.二面角D-OB-A为45°.

[分析]这道题除第一问可以直接利用全等三角形证明其为正确

之外,其余各问如果就图论图地去做,同样好难好难.但是如题18图2：

将这个图形整体置于正方体OAMB-CNDP之中,那又是“山穷水复疑无路,

柳暗花明又一村”了：

[解析]连结OM,∵四边形OAMB是正方形,∴AB⊥OM;∵OC⊥平面OAMB,

∴OC⊥AB. 从而AB⊥平面OCDM.但是平面OCDM,∴AB⊥OE,

即结论2正确;

∵OB∥AM,而AM与平面ACD有公共点A,∴OB与平面ACD不平行,

∴结论3不正确;

∵四边形ANDM是正方形,∴∠DAM=45°，而 OB∥AM,∴直线AD

与OB亦成45°角，结论4正确；

连结ON,∵ND∥OB,且OB⊥平面OCNA,∴∠NOA是二面角D-OB-A

为45°，即结论5正确.

综上，题中正确结论的序号是1，2，4，5.仅有结论2是不正确的.

[题19](2010.南京五中一模.14题)如图, 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, ∠ABC＝90°,

AB＝BC＝AA₁＝2, 点D是A₁C₁的中点, 则异面直线AD和BC₁所成角的大小为　　　　　　 .

[分析]求异面直线的夹角，其基本方法有二.一是经过平移，使之成为同一平面内两直线的夹角；二是利用空间坐标，借助向量法求之.可是如果仅就原图则无法达到平移效果.若用坐标法又嫌绘图及计算繁琐.

　根据题中的数量关系,一眼看出,这个直三棱柱正是半个正方体于是仍然想到“龙回大海鸟归窝”.

[解析]如上右图，根据题设的数量关系，将原三棱柱补成正方体，连结，则△是正三角形，且.但是∥，∴AD和BC₁成的角.

小结.大量的立体几何试题,其图形都是命题人“故意”从某个特殊几何体中割离出来的.因为这个图形离开了我们熟悉的几何环境,所以我们解题时就感到特别地困难和生疏.这时我们就该认真考察,题中这只“鸟”是从哪里飞出来的,只要让它们重新回到我们熟悉的几何环境中去,难题也就不难了.

以下是2004年一道著名的高考题：

[题16]一个正四面体的所有棱长都是 ，则其外接球的表面积为(　　　 )

这道题如果就图论图的直径去做,计算量确实既大且繁.但若注意到这个四面体正好是某个正方体的内接四面体,并让它回到原正方体之中,则计算简便多了.

[解析]如图,作这个四面体的外接正方体,

如果四面体的四个顶点都在一个球上,这个球就是该四面体的外接球.

显然,这个正方体与原来的正四面体有同一个外接球.当正四面体的

棱长为时,正方体的棱长是1.它的体对角线也就是外接球的直径为

故选A.

[题17](2008年武汉市二月调考)在四面体ABCD中，三组对棱长分别相等且依次为.则此四面体ABCD的外接球的半径R为(　　　　 )

这道题比上一题更难,但是解题思想却别无二致：如图，将这个四面体ABCD置于长方体AEBF-GCHD之中,那么该四面体与长方体有同一个外接球,且球半径等于该长方体的体对角线之半.

设此长方体的三度依次为.令

于是这个长方体的体对角线之长，从而所求

外接球的半径.选C.

[题18]如图.正四面体ABCD的3个顶点分别在两两互相垂直的

3条射线Ox,Oy,Oz上,点E在棱CD上，则以下结论：

1.OA=OB=OC;　　 2.AB⊥OE;　　 3.OB∥平面ACD;

[题9](北京.崇文.5月考.8题)已知圆的方程，

过作直线与圆交于点，且关于

直线对称，则直线的斜率等于 (　　　　　 )

(A) 　　　(B)　　 　(C)　 　　(D)

[分析]解本题虽然可以使用特技，但是特技不是最好的方法

上. 取B(5,0).则B关于直线Y=3的对称点

为C(5,6).直线MCD的方程是：x=3y-13.

由：

(舍)或，于是，得..故选A.

[解析2](几何法：利用垂径定理及圆的对称性)

如题9图2, 显然点在圆上.

点M关于y轴的对称点N(4,3)也在圆

必ON⊥AB.

显然，这匹“黑马”，又比使用特技高明得多，而且还弥补了特技法证明不足的弱点.

[题10](2010.5月.朝阳.7题.)已知椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的一个焦点. 若，则该椭圆的离心率为　

(A)　　 (B) (C)　　　 (D)

[解析](利用直角三角形中成比例的线段)如图，∵_，且

.

[题11]如图，和分别是双曲线

的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该

A 　　　　　　　B　　　　　　 C 　　　　　　D

[解析](利用含30°的直角三角形)连AF₁，则△AF₁F₂为含30°角的直角三角形，且斜边F₁F₂之长为2c.故由双曲线定义知：.故选D.

[题12]已知椭圆方程为，O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线上(除去与轴的交点)的动点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆

交于点N，则线段ON的长为(　　　　 )　　

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．不确定

[解析](四点共圆之1)如图设直线FN⊥OM于H,椭圆右准线交

x轴于A，∵A,F,H,M四点共圆，∴.

[题13]已知圆C：，一动直线过点A(-1，0)与圆C交于P，Q两点，M为PQ中点，与直线相交于N，则

[解析](四点共圆之2)如题13图，圆的

圆心是C(0，3)，连CA并延长交直线于D，注意到而

连CM,则∠AMC=∠AND=90°,知C,M,D,N四点在同一个圆上.

　而

.

注：本题若取取特殊点，使M重合于C，则N重合于D,计算更为简洁.

[题14]如图2-1，l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1， l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是(　　　　　 )

(A)　　 (B)　　 (C)　 (D)

[解析](借助勾股定理)建立如图的直角坐标系，有M(0，1)，

N(0，-2)设.

△ABM与△CBN都是直角三角形，.代入(3)：

.故选D.

[解析](构造特殊直角三角形)作CO⊥BA延长线于O，

分别以直线OB，OC为x，y轴建立如图的直角坐标系.

∵∠OAC=60°，∴有

　∴　 ，

小结：高中的三角与向量,立几与解几等都是在平面几何的基础上创建于发展起来的,平面几何知识是它们的总根.平面几何知识具有简洁,直观和内涵丰富等优点,所以解题时只要条件具备,不失时机地“回归平几”是减少计算量,提高解题效率的有效手段.

[题1](2010.武汉5月供题3)若且，则的取值范围是(　 )

[解析](取特值)

.显然适合，排除A,B,D,选C.

注：本题的一般解法是求导：设则恒成立.所以

是R上的增函数.而

故的解集是.这个一般解法虽然理由充足，过程完美.可是那样小题大做，枉自耽误可贵的高考时间，值吗？

[题2](2010.北京宣武5月考.8题.)如图抛物线：

和圆: ，其中，直线经过的焦点，依次交

，于四点，则的值为(　　　　　　 )

[解析](取特殊直线)如图：圆的圆心为抛物线的焦点

令直线AD与x轴垂直，那么∵与同向，，故选A.

注：本题“完美”的解法是对直线AD的斜率是否存在进行讨论.那么除以上斜率不存在的情况外，还需对AD斜率存在的情况进行补证.：如题2图2，圆的圆心为抛物线的焦点

.抛物线的准线为.如图,作垂足分别

为.设点A,D的横坐标依次为.

，而圆半径，

同理.∵与同向

.由韦达定理：，.

如果这样做，这道小题须得多花费2倍以上的时间.

为节约篇幅起见，以下各题的解法不再追求“正规”，“完整”.这是因为：

小题“不讲道理”，所以解法是“不择手段”.

[题3]已知点P是椭圆上的一点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，，则椭圆的离心率为(　　　　　 )

[解析](取特殊角度)如图令，，

　 ，

　 于是，，

　 将代入各选项，仅A适合，答A.

[题4](05 全国1卷 5题)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为(　　　　 )

[解析](用特殊手段_补形).如题4解图，延长EA、FB交于G，

又延长FC、ED交于H，由三角形中位线性质知：多面体EFGH是棱长为2的正四面体，其体积

		题4解图

[题5]已知定义在实数集R上的函数y=F(x)恒不为零，同时满足： F(x+y)=F(x)·F(y),

且当时，F(x)>1，那么当时，一定有(　　　　 )

A.F(x)<-1　　　　　　 B.-1<F(x)<0 　　　　　　C.F(x)>1　 　　　　　　D.0<F(x)<1

[解析](取特殊函数)设 F(x)=2^x,显然满足 F(x+y)=F(x)· F(y)(即2^x+y=2^x·2^y),且满足x>0时， F(x)>1,根据指数函数的性质，当x<0时，0<2^x<1.即 0<F(x)<1.选D.

[题6]直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分别是侧棱AA₁，

CC₁上的点，且A₁P=CQ, 则四棱锥B₁-A₁PQC₁的体积与多面体

ABC-PB₁Q的体积比值为　　　　　　　 　

[解析](取图形的特殊位置) 如图，令A₁P=CQ=0.则多面体

蜕变为四棱锥C-AA₁B₁B，四棱锥蜕化为三棱锥C-A₁B₁C₁.

显然，∴：.

的反函数是(　　　　　 )

[解析](取特殊点)注意到(-8，3)(适合)在原函数的图象上，所以(3，-8)必在其反函数

的图象上.将(3，-8)代入各选项，A、C不适合，排除A、C；又在原函数中，当时，必

有，故在其反函数中，应有，排除D，选B.

[题8](06安徽11)如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则(　 )

A、和都是锐角三角形　　　　 B、和都是钝角三角形

C、是钝角三角形，是锐角三角形

D、是锐角三角形，是钝角三角形

[解析](取特殊三角形)设各内角依次为60°，45°，75°；各内角依次为30°，135°，15°.显然满足所设条件.此时是锐角三角形，而是钝角三角形.故选D.

注：以上结论可以用反证法证明.

小结：综上，“瞒天过海”的含义就是无须讲道理.其实，能够又快又好地找到正确答案，就是考场上最大的道理.而种种特技包括取特殊值，特殊角度，特殊点，特殊函数，特殊图形，和图形的特殊位置等.

特技法也是有理论根据的.这个理论根据就是互逆否的两个命题一定等价.说明确一些，虽然用特殊手段得到的结论在一般情况下未必成立，但是用特技法求得的结论却无法在一般情况下将其否定.

2、《学会弯腰》

“学会弯腰，是对外界环境的暂时顺服，是在弯腰的过程中思索翻身，是对世故的变通，是在减少对别人的伤害。”

“只有忍耐艰难困顿才能劫后重生。”

(点评：从一个形象的角度来阐述了观点，将原本抽象的内容说得形象生动。)

[错误立意]：①因为执著，所以成功。②坚持就是胜利。(只是单纯谈“坚持”的作用)③不同的选择造就不同的命运。(选择适合自己的人生路)④适应环境，(适者生存)。⑤面对困难，后退一步海阔天空。⑥经历逆境，才能成就辉煌。(成功之路多磨难)⑦弱小却有强大的生命力。⑧失去小于得到(舍才能得)(学会舍弃，换取成功)⑨长处与短处。(红松以最高傲的屹立姿态示人，所以人应以最完美的一面展现。)⑩只有牺牲才能锻造更伟大的成功。

精彩例文　 1：

宁折不弯方为人中豪杰

粗壮高大的红松，昂首挺胸；矮小如虬的雪松，俯首哆嗦。红松，有火热的外貌，热情的心境，而雪松，却只有那苍白的皮肤，冷漠忍受的不振之风。

翻开历史的画卷，有多少豪杰志士，宁折不弯，就有多少惊天地，泣鬼神的故事……

北方寒风凛冽，一望无际的荒野上，有一个这样的人，他每天挺胸昂首，手上紧紧地握着一个符节，日复一日，年复一年，符节上的装饰已被岁月的流光冲刷去了，而他还是站在那儿，远眺南方中原大地，怀念着他的故土；他曾被劝降，他曾被逼降，但他宁死不屈，在那个荒野上，食草饮雪；他忍受着各种屈辱，无奈地服从那个荒诞的命令：“公羊生下羊羔，你就可以归国！”他凭着一个信念，坚持；他凭着一个符节，爱国；他凭着一个身份，汉朝官员，使他忍受屈辱，十多年后，宁折不弯的他最终光荣归国，成为后世传颂的人物。

他是谁？他是爱国主义者苏武。他有如荒野上的一棵红松，坚持着自己的信念，永不屈服，宁折不弯。

红松挺拔于高山上，那里寒泠，险峻；但他仍能挺拔，只因它有宁折不弯的精神。

再次回首，我们不难发现，巾帼英雄的英姿飒爽，也给我们留下深刻的印象。

她带领军队，冲锋，陷阵；敌军的到来，她更为激动，激昂的热血使战士们士气高涨，一次一次地战胜敌军，一场一场的战斗大捷，战士们都封她为圣女；一处一处的伤口，一条一条的刀伤，战士们以她为榜样。然而，在敌军的呐喊声中，她被捉了，被绑在十字架上，在她脚下，柴草如山，敌人手执火把，准备着。但可恶的敌人在行刑前对她和她的部下进行辱骂，皮鞭的抽打……但她仍然昂望，泰然自若，宁折不弯的她在熊熊大火中牺牲，但她见到了真理--也是她的信念--宁为战死鬼，不为亡国奴！

她是谁？她是英法战争中的巾帼英雄--圣女贞德。她，有如高山宁折不屈的红松，站在火堆上，怒视敌人，憧憬着和平。她凭着战胜敌人，争取和平的信念，成为一代女英雄，女豪杰！

人生虽有百味，但只要我们有着桑兰的不屈，海伦·凯勒的勇敢，和奥斯特洛斯基的坚强，寒风凛冽的高山，白雪皑皑的冰封天地我们也不怕；只要有红松的宁折不弯，坚韧不拔，再大的困难也不怕。

请相信，宁折不弯方为人中之杰。

[点评]这是一篇规范的考场应试作文。开篇即提出“宁折不弯方为人中之杰”的观点，鲜明而有力。论述部分运用了“苏武”与“圣女贞德”的事例，一中一外，一男一女，充分证明观点。语言流畅，句式上有变化，中间过渡自然。在用例后不忘扣题进行抒情。结尾干净利索。思考的深度略为不够，缺乏独特而具有个性的解读。

[失败例文]：

宁折不弯的红松

在加拿大魁北克的山上，在这样一个遥远的国度里，红松虽少，却株株笔直高大，是因为他们宁折不弯；雪松虽多，却普遍矮小，是因为他们宁弯不折。人应该像红松那样不屈不挠。(点评：材料引入，开门见山，摆明观点，虽然普通，但很明确。不足之处是观点表述不全面，不太准确。“不屈不挠”与题目中的“宁折不弯”不照应，可改为“宁死不屈”。)

时间回到一千多年前，苏武持着国家交托给他的旌节，把单于荣华富贵的引诱看得一文不值，把那段不起眼的旌节化为一段不朽的历史。他拉着羊群在大漠黄河中且行且歌，把忠诚于祖国的信念铭记于心，把那群枯瘦的羊群定格为一个不屈的象征。正是因为他有着“宁折不屈”的红松精神，才让他为后世所颂扬。(点评：语言表达较好，但有些地方不太合情理，更重要的是只强调了“不屈”，而忽略了“宁死”。因此，陈述事例时可以强调苏武自杀和北海牧羊都不投降的情节。还可以深入分析：苏武宁死不屈的原因是什么？)

时光不断流逝，让我们一起来品读宋代的东坡居士。“一蓑烟雨任平生”是他对人生的态度，面对爱情的曲折，仕途的偃蹇，政治漩涡的挣扎，他选择了不屈不挠，他选择了“竹杖芒鞋轻胜马”。(点评：这个事例主要体现了苏轼面对打击持坦然豁达的态度，而非“宁死不屈”的精神，所以建议换用屈原为坚持气节和理想不愿同流合污而投江自尽的例子。)

清代的文天祥，面对战败的耻辱与被俘虏的现实，他果断地选择了对国家的忠诚，一句“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”展示了他对敌人的不屈。是的，大丈夫生当不屈，死又何惧？(点评：这个例子用得恰当。但最好强调文天祥对敌人的宁死不屈是指他宁死不投降。)

古往今来，不屈不挠的红松精神不乏典型的例子，林则徐就很好地诠释了这种精神。“苟利国家生死以，岂因祸福避趋之？”诚然，“国家兴亡，匹夫有责”，国家有难，是不应该去国家苟且偷安的。因此，他不惧恶势力，从此，“虎门销烟”事件载入史册。(点评：这个例子不太好，建议另外换一个。)

外国人也是有着红松精神的。居里夫人发现镭元素，马克思著成《资本论》，以及《钢铁是怎样炼成的》的主人保尔·柯察金对生活困难的不屈，都无不向我们展示着红松精神。(点评：这三个外国人的事例都只是强调他们对困难的态度，与观点“宁死不屈”有较大距离。建议更换。)

其实，在我们的现实生活中，大到国家大事，小到生活中琐碎之事，不屈不挠的精神都有所体现。当我们成绩不如人意时，是不屈的红松精神支撑着我们奋发；当我们在人生旅途中遇到挫折时，也是红松精神促使我们图强。

人，真的该有宁折不弯的红松精神。(点评：结尾两段总结上文，照应开头，使文章结构完整，但不足之处仍是只强调了“不屈”，而忽略了“宁死”。)

[点评]：文章审题较准确，材料丰富，结构完整。但没能扣紧红松“宁折不弯”的特点把观点贯穿始终，部分材料使用不够恰当，构思不够精巧，思维的深刻性不足。

[精彩例文]2：

宁折不弯的红松

在遥远的加拿大的魁北克的山上，红松虽少，却株株笔直高大，是因为他们宁折不弯；雪松虽多，却普遍矮小，是因为他们宁弯不折。两种不同的人生态度，成就两种不同的人生。但我认为，做人就是要像红松一样，无论在什么样的情况下，都要宁死不屈。

古往今来，不屈不挠的红松精神不乏典型的例子。

时空折转，我们来到汩罗江边。一个瘦弱的身躯在江边徘徊。他就是楚国大夫屈原。为什么“世人皆醉”只有他独醒，为什么他就是不能放弃自己的原则，和那些奸臣叛国者一样，把理想的花朵埋没。因为，他也有着红松“宁折不弯”的品质，宁死也不放弃自己的理想，自己高洁的身躯。浩浩江水，可以洗濯双脚，洗净世间一切的污垢。屈原，毅然抱着石头沉入江水中，让自己的清白永留人间。红松“宁折不弯”的精神，在那一瞬间，化成了永恒。

时间回到一千多年前，苏武持着国家交托给他的旌节，把单于荣华富贵的引诱看得一文不值，把那段不起眼的旌节化为一段不朽的历史。他拉着羊群在大漠黄河中且行且歌，把忠诚于祖国的信念铭记于心，把那群枯瘦的羊群定格为一个不屈的象征。即使是面对死亡，他也始终双手紧握节杖，没有让自己高大的身躯倒伏在大漠漫漫的黄沙中。是什么在支持着他，支持着这个充满力量的身躯呢？是那“宁折不屈”的红松精神。对，就是这“宁死”也“弯曲”的红松精神，才让他为后世所颂扬。

清代的文天祥，面对战败的耻辱与被俘虏的现实，他果断地选择了对国家的忠诚，一句“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”展示了他对敌人的不屈。他像红松一样，傲然挺立在寒风中，宁断头，也不弯下腰。是的，大丈夫生当不屈，死又何惧？

不仅是中国人有着“宁折不弯”的精神，放眼神州之外，我们也可以看见有着红松般身躯的外国人。

圣女贞德面对死亡，毫不退却，宁愿在熊熊的烈火中化成美丽的天使，也决不向敌人低头。布鲁诺面对死亡，面对教会的死刑，他没有屈服，因为他相信真理，他在自己的“坚持”中，也走向了熊熊的烈火。……这一个又一个不屈的身躯，都无不向我们展示着红松精神。

生活是曲折而艰辛的，但无论面对着什么的困难，我们都不能没有自己的“坚持”。山上的红松，虽然数量少，但它却以伟岸的身躯，成为山上独特的风景。

人，真的该有宁折不弯的红松精神。

[点评]：修改后的文章观点鲜明，思路清晰，结构严谨。从古到今，从中到外，举屈原、苏武、文天祥、圣女贞德、布鲁诺等例论证“做人就是要像红松一样，无论在什么样的情况下，都要宁死不屈。”

1、《生命的精彩》“人生应该怎样才叫精彩呢？是活得傲骨凛然，还是苟且偷生呢？”

“人生真的要经历很多事，但我们要像红松一样宁折不弯，要像雪松一样刚强坚韧，要像飞蛾一样敢拼敢搏，生命会随之精彩，人会随之成熟，路也会随之越好走。但我相信，有坚韧的精神，有敢搏的勇气，人生就会精彩。”(点评：直奔主题，将自己文章的立意定位在生存方式的选择上，观点鲜明。)

3．将259甲物质、5g乙物质、109丙物质混合加热发生化学反应，经分析可知，反应后混合物中含有109甲、219丙，还有一种新物质丁．若甲、乙、丙、丁的式量分别为30、20、44、18，并用A、B、C、D分别表示它们的化学式，，则他们之间发生化学反应的方程式是(　　 )

　　 A. A+BC + D　　　　　 B．A+ 2B2C+ D

C．2A+ B2C+ D　　 　D. 2A+ BC+2D

[知识验证实验]

　　 哥伦比亚号宇宙飞船曾用金属铝粉和高氯酸铵(NH₄ClO₄)作固体燃料，加热铝粉使其被氧气氧化，放出大量的热，促使混合物中的高氨酸接受热生成四种气体：两种气体是空气中的主要成份，一种气体是氯气(Cl₂)，还有一种气体是化合物(常温下是液体)，因而产生巨大的推动力．试写出其中涉及到的反应的化学方程式．

　　　 (1)

　　　 (2)

[知识探究学习]

　　 思考与讨论：已知： C + O₂ CO₂， 　2C + O₂2CO

假若有agC和bgO₂完全反应，生成物是气体，请讨论确定的取值范围．

2．一些豆科植物能将空气中的氮气转化为能被农作物吸收的氮的化合物，其反应可以看作是氮气、碳、水在根瘤菌的催化作用下生成了氨气(MH₃)和二氧化碳．试写出该反应的化学方程式　　　　　　　　　　　　　 。

1．从四种元素Cu、C、O、H中选取适当元素组成物质，按下列要求写化学方程式，且生成物中都要有水．(1)化合反应　　　　　　　　 ；(2)分解反应　　　　　　　　 ；

(3)置换反应　　　　　　 　　　。