摘要：数形结合是解题的重要手段.但是什么时候需要“结合 ,又该如何结合呢? [题20]若△ABC的内角A,B,C的对边依次为a,b,c.P是△ABC内一点.且满足.则点P必为△ABC的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 [分析]这道题“有数无形 .如果仅从数据关系去直接推算.的确很难.其运输量不是一道小题所应该承受的.但若多考察“形 .即三角形心的位置所在.是可以轻而易举地找到正确答案的. [解析]题设△ABC不可能是正三角形.否则其四心重合.选项不唯一. 点P必在三角形内部.故可排除B,D;假定P为三角形重心.则必有: 代入.得.即 .不妨设△ABC为不等边三角形.则有. 这说明与共线.而这是不可能的.于是排除C,选A. [题21]已知函数(x∈[-8π.8π])的最大值为M.最小值为m. 则M+m= [分析]本题也是“有数无形 .且不可能用数据计算与推理方法直接解决.出路在考察函数的奇偶性即最值在曲线中的位置. [解析]原式变形得: 令当x∈[-8π.8π]时.是奇函数.不论其单调性如何.其图象的最高点与最低点必关于原点对称.也就是说.如果最大值为.那么最小值必为.由此得:M+m= [题22]当时.方程组 最多有 解? [分析]请注意题目本身的要求,是问方程组有几个解,而不是 问其解是什么.既如此,先取特值,再配合画图形就可轻松解决. [解析]取k=1.得直线与曲线.或 .问题转化为:考察直线与双椭圆 有几个公共点. 题22图 如图.当直线y=2上下移动时.它与双椭圆最多有4个交点.故选D. [题23]对任意实数k.直线 题25图 题24图 题23图 与椭圆恒有公共点.则的取值范围是 [分析]考察图形的形状.当直线通过椭圆上或椭圆内的点时.它与椭圆一定相切或相交. [解析]椭圆的标准方程是: 在方程(1)中.命得 解得.或3.如图.当时.无论直线的斜率k 取什么实数.该直线必通过以A为端点 的线段AB上一点.而线段AB是椭圆(1)的弦.这 就是说.当时.直线 恒过椭 圆(1)内或上一点.因而与椭圆恒有公共点. ∴. [题24]已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象 如右图.那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 [分析]本题反过来.“形 有余而数据不足.只有从“形 中发掘隐藏的数据特点.才有可能找到正确的选项. [解析]首先得把原图读懂.原图中且递减.说明是上凸且递增的函数.选项A.C肯定不对,与的图象交点的横坐标是说明两函数在点处的切线有相同的斜率.也就是它们在点处有公切线.或者平行的切线. 所以B不对.正确的选项是D. [题25]△ABC中.若AB=2, AC=BC .则 的最大值 ． [分析]本题说的是“形 .而并未给出有关的“形 .所以解题 必须从画出“形 .且充分研究这个“形 的数据特点着手. [解析]以直线AB为x轴.过A且垂直于AB的直线为y轴建立如图的直角坐标系.则有B.那么由 .化简得: .故点C在以M(4.0)为圆心.为半径的圆上. (不含圆与x轴的两个交点)当且仅当CM⊥x轴时.. [题26]在闭区间上任取两个实数.则它们的和不大于1的概率是 [分析]本题隐含着的“形 只是数轴.但仅凭数轴很难找到 正确答案.对此我们索性“解放思想 .为之配备一个更高级的“形 . [解析]在如图10的直角坐标系中.构造边长为2的正方形ABCD, 则正方形及其边界上任一点P(x,y)满足x,y∈.取M(0,1), N(1,0),连结MN.则图中阴影部分及其边界上任意一点均满足 题26解图 X+y≤1.可知所求概率. [题27]若.则的值为 A.2 B.0 C. D. [分析]显然本题与“形 无关没有必要画蛇添足地去找形.那么就去找最合适的数据代入吧. [解析]在中.令得: 再令 :.故选C. [题28](理)已知以为周期的函数.其中.若方程恰有5个实数解.则的取值范是 . [分析]本题又是有数无形.没有必要去解方程组.只需要画出合适的曲线考察其交点就行. [解析]当时..可知曲线是以原点为中心的上半椭圆. 当时..可知曲线是由两条线段连成的折线. 又由于是以为周期的周期函数.所以这个函数的基本图象如图 所示. 题28解图 从图中我们看到.当时时.曲线与直线有且只有3个交点. 为确保恰有5个实数解.必须直线与曲线在下一个周期内恰有两个交点.而在更下一个周期内没有交点.显然.当x＞3时.直线与曲线的折线部分不可能有交点.只需考查直线与曲线的非折线部分的交点. 当时..由 方程(1)应有不等二实根. 化简得.已知.得 当时..由 方程(3)应没有实数根. 化简得.已知.得 综合.所求的取值范围.是. [题29]将正分割成个全等的小正三角形(图2.图3分别给出了n=2, 3的情形).在每个三角形的顶点各放置一个数.使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为.则有 . [分析]这道题也很难.是名副其实的,不小的小题. 出路是:首先读懂题意.找出数列的发展趋势与规律. [解析](1)如图1 .的含义是将正△ABC各边 题29图2 题29图1 依次2等分.连成个小正三角形后.求图中6个顶点 所赋予的数据之和. 不妨设三顶之数分别为a,b,c.△DEF三顶之数依次为d,e,f.由条件:a+b+c=1.由于D,E,F分别是BC,CA,AB的中点.所以d,e,f分别是b,c;c,a;a,b的等差中项.故.于是.这就是的来历. 如图2.的含义是将正△ABC各边依次3等分.连成9个小正三角形后.求图中10个顶点所赋予的数据之和.设△ABC三顶之数分别为a,b,c.各个三等分点依次为分别表示数与(2)同理有: .而G为△ABC的重心.根据重心原理与公式.它表示数.故于是所求. 为完整起见.我们补充.即没有分点时.△ABC各顶数据之和是1.再补充.即△ABC浓缩到它的重心G时 .对应的数应为. 如此类推.的含义是将正△ABC各边依次4等分.连成16个小正三角形后.求图中15个顶点所赋予的数据之和.与同理.△ABC的顶点及各边所有分点所表示的数据之和为4.而由于等差数列的性质.△MNP各顶数据之和还是1.所以. 于是我们得到一连串数据:.... 仔细研究后我们发现:.据此我们继续推测: ,,-. 将以上得到的系列数据1.2.5.7.-.其通分整理得:. 这些数据中的分母都是3.分子是我们熟悉的数列1+2.1+2+3.1+2+3+4.1+2+3+4+5.-. 其通项是.所以我们进一步推测:. 这个结果是可以用数学故纳法证明的.这里从略. 小结:数形结合的要点是:有形无数去找数.有数无形去配图.形是直观来引路.数是灵魂寻归属.

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