23．(石景山·文·题19)

已知椭圆的离心率为，长轴长为_，直线交椭圆于不同的两点，_．

⑴求椭圆的方程；

⑵若，且，求的值(点为坐标原点)；

⑶若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值_．

[解析]　　　　　　 ⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．

由，得

∴所求椭圆方程为

⑵∵，∴．

设，其坐标满足方程，

消去并整理得_，

则，解得

_故．

∵_，

∴

∴．

⑶由已知，可得．

将代入椭圆方程，整理得

∴

∴

_．

当且仅当，即时等号成立．

_{经检验，满足式．}

_当时，

_综上可知

∴当最大时，的面积取最大值．

22．(石景山·理·题19)

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，．

⑴求椭圆的方程；

⑵若，且，求的值(点为坐标原点)；

⑶若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

[解析]　　　　　　 ⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．

由，得

∴所求椭圆方程为

⑵∵，∴．

设，其坐标满足方程，消去并整理得

_，

_则

_故．

∵_，

∴

∴，经检验满足式．

⑶由已知，，可得

_{将代入椭圆方程，整理得}

∴．

∴

_{当且仅当，即时等号成立．}

_{经检验，满足(*)式．}

_当时，

_{综上可知，}

_{所以，当最大时，的面积取得最大值．}

21．(丰台·文科·题19)

在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴求轨迹的方程；

⑵是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　　　　　　 ⑴∵点到，的距离之和是，

∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦距为的椭圆，

其方程为．

⑵将，代入曲线的方程，

整理得　 ①

设，由方程①，得

，　 ② 　

又　　 ③

若，得

将②、③代入上式，解得．

又因的取值应满足，即(*)，

将代入(*)式知符合题意．

20．(丰台·理科·题19)

在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴求轨迹的方程；

⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．

[解析]　　　　　　 ⑴∵点到，的距离之和是，

∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，

其方程为．

⑵将，代入曲线的方程，整理得

因为直线与曲线交于不同的两点和，

所以　 ①

设，，则，　 ②

且

显然，曲线与轴的负半轴交于点，

所以，．

由，得．

将②、③代入上式，整理得．

所以，即或．经检验，都符合条件①

当时，直线的方程为．

显然，此时直线经过定点点．

即直线经过点，与题意不符．

当时，直线的方程为．

显然，此时直线经过定点点，且不过点．

综上，与的关系是：，且直线经过定点点．

19．(海淀·文科·题19)

已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点0在该椭圆上．

⑴求椭圆的方程；

⑵过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程．

[解析]　　　　　　 ⑴设椭圆C的方程为，

由题意可得，又，所以

因为椭圆经过，代入椭圆方程有，解得

所以，故椭圆的方程为．

⑵解法一：

当直线轴时，计算得到：，，

，不符合题意．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

由，消去，得

显然成立，设，，

则，

又

即

又圆的半径

所以

化简，得，即，

解得，(舍)

所以，故圆的方程为．

⑵解法二：

设直线的方程为，

由，消去，得

因为恒成立，设，，

则

所以

所以

化简得到，即，

解得(舍)

又圆的半径为

所以，故圆的方程为：

18．(海淀·理科·题19)

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．

⑴求椭圆的方程；

⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

[解析]　　　　　　 ⑴设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆两焦点坐标分别为，．

∴．

∴，又，，

故椭圆的方程为．

⑵当直线轴，计算得到：，，

，不符合题意．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

由，消去y得．

显然成立，设，，

则，．

又

即，

又圆的半径．

所以，

化简，得，即，解得．

所以，．

故圆的方程为：．

⑵另解：设直线的方程为，

由，消去得，恒成立，

设，，则，．

所以．

又圆的半径为．

所以，解得，

所以．

故圆的方程为：．

17．(朝阳·文·题10)

在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为　　 ．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2；

由抛物线的几何性质，有．

16．(朝阳·理·题10)(朝阳·文·题13)

圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为　 　　　　．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

圆心到直线的距离为．不妨设劣弧所对的圆心角为，于是．解得．

15．(朝阳·理·题6)

已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C；

不妨设，于是有．

于是．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上．排除D．

14．(崇文·文·题4)

若直线与圆相切，则的值为 (　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　 D．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B；

．