2.在等差数列{a_n}中，(1)已知a₄=10,a₇=19,求a₁与d;(2)已知a₃=9,a₉=3,求a₁₂.

解：(1)由题意得：,

解之得：.

(2)解法一：由题意可得：,

解之得

∴该数列的通项公式为：a_n=11+(n－1)×(－1)=12－n,∴a₁₂=0

解法二：由已知得：a₉=a₃+6d,即：3=9+6d,∴d=－1

又∵a₁₂=a₉+3d,∴a₁₂=3+3×(－1)=0.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a_n－a_n－1=d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：a_n=a₁+(n－1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a_n=a_m+(n－m)d的理解与应用.

Ⅴ.课后作业

1.(1)求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知：a₁=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：a_n=3+(n－1)×4,即a_n=4n－1(n≥1,n∈N*)

∴a₄=4×4－1=15,a₁₀=4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

(2)求等差数列10，8，6，……的第20项.

解：根据题意可知：a₁=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：a_n=10+(n－1)×(－2),即：a_n=－2n+12,∴a₂₀=－2×20+12=－28.

评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

(3)100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得a_n等于这一数.

解：根据题意可得：a₁=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：

a_n=2+(n－1)×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,

∴100是这个数列的第15项.

(4)－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

解：由题意可知：a₁=0,d=－3

∴此数列的通项公式为：a_n=－n+,

令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.

［生］(板演练习)课本P₁₁₇练习2

3.例题讲解

［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.

分析：由给出的三项先找到首项a₁,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.

解：由题意可知：a₁=8,d=5－8=2－5=－3

∴该数列通项公式为：a_n=8+(n－1)×(－3),即：a_n=11－3n(n≥1),当n=20时，则a₂₀=11－3×20=－49.

答案：这个数列的第20项为－49.

(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?

分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得a_n=－401.

解：由题意可知：a₁=－5,d=－9－(－5)=－4,

∴数列通项公式为：a_n=－5－4(n－1)=－4n－1.令－401=－4n－1,解之得n=100.

∴－401是这个数列的第100项.

［例2］在等差数列{a_n}中，已知a₅=10,a₁₂=31,求首项a₁与公差d.

解：由题意可知，a₁+4d=10,①,a₁+11d=31,②

这是一个以a₁和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a₁=－2,d=3.

即这个等差数列的首项是－2，公差是3.

［例3］在等差数列{a_n}中，已知a₅=10,a₁₅=25,求a₂₅.

思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a₁和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a₂₅.

解法一：设数列{a_n}的首项为a₁,公差为d,则根据题意可得：a₁+4d=10,a₁+14d=25

这是一个以a₁和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a₁=4,d=.

∴这个数列的通项公式为：a_n=4+×(n－1),即：a_n=n+.∴a₂₅=×25+=40.

思路二：若注意到已知项为a₅与a₁₅,所求项为a₂₅,则可直接利用关系式a_n=a_m+(n－m)d.这样可简化运算.

解法二：由题意可知：a₁₅=a₅+10d,

即25=10+10d,

∴10d=15.

又∵a₂₅=a₁₅+10d,

∴a₂₅=25+15=40.

思路三：若注意到在等差数列{a_n}中，a₅,a₁₅,a­₂₅也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a₂₅的值.

解法三：在等差数列{a_n}中，a₅,a₁₅,a₂₅成等差数列

∴2a₁₅=a₅+a₂₅,即a₂₅=2a₁₅－a₅,∴a₂₅=2×25－10=40.

Ⅲ.课堂练习

［生］(书面练习)课本

［师］(提问并结合学生所答进行讲评)

2.等差数列的通项公式

［师］等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a_n}的首项是a₁，公差是d，则据其定义可得：

(n－1)个等式

若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：a_n－a₁=(n－1)d　 即：

a_n=a₁+(n－1)d

当n=1时，等式两边均为a₁,即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{a_n}的通项公式.

或者由定义可得：a₂－a₁=d即：a₂=a₁+d；a₃－a₂=d即：a₃=a₂+d=a₁+2d；a₄－a₃=d即：a₄=a₃+d=a₁+3d；……；a_n－a_n－1=d,即：a_n=a_n－1+d=a₁+(n－1)d

［师］看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a₁和公差d,便可求得其通项.

如数列①:a_n=1+(n－1)×1=n(1≤n≤6),数列②：a_n=10+(n－1)×(－2)=12－2n(n≥1),数列③：a_n=+(n－1)×=(n≥1)，数列④：a_n=2+(n－1)×0=2(n≥1)

由通项公式可类推得：a_m=a₁+(m－1)d，即：a₁=a_m－(m－1)d，则：a_n=a₁+(n－1)d=a_m－(m－1)d+(n－1)d=a_m+(n－m)d.

如：a₅=a₄+d=a₃+2d=a₂+3d=a₁+4d

1.定义

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，，0.

2.等差数列的通项公式的推导及应用.

●教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.

●教学方法

启发式教学

启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.

●教具准备

投影片一张

记作§3.2.1

1，2，3，4，5，6；　　　　　　　　　　 ① 10，8，6，4，2，…；　 　　　　　　　　　② 　　　　　　　　　　　　　 ③ 2，2，2，2，2，…　　　　　　　　　　　 ④

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法--通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子

(打出投影片)

Ⅱ.讲授新课

［师］首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？(引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点)

［师］(提问)：大家是否已考虑成熟？

［生］(回答)：

学生甲：数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：a_n=n(1≤n≤6).

学生乙：数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：a_n=12－2n(n≥1).

学生丙：数列③是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：a_n=(n≥1).

学生丁：数列④是一常数数列，即每一项均相等，其通项公式为：a_n=2(n≥1).

［师］综合上述学生所说，它们的共同特点是什么呢？

［生］它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.

［师］也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.

1.等差数列的概念的理解与掌握.

3.培养学生的应用意识.

●教学重点

2.进一步提高学生推理、归纳能力.

1.培养学生观察能力.