解题的本质就是转化.能够转化下去就能够解下去.至于怎样转化.要通过必要的训练.达到见识足.技能熟的境界.在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要. [例题].一给定函数的图象在下列图中.并且对——青夏教育精英家教网—

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

[例题]、(05辽宁12)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是(　　 )

A、　　　　　　　 B、　　　　　　　　 C、　　　　　　 D、

[解析]问题等价于对函数图象上任一点都满足，只能选A。

[练习1]、设，且sin³+ cos³，则的取值范围是(　　 )

A、[-，0)　　　　　　 B、[]　

C、(-1，0) ]　　 D、(-，0)

(提示：因为sin³+ cos³=(sin+ cos)(sin²- sincos+ cos²)，而sin²- sincos+ cos²＞0恒成立，故sin³+ cos³t＜0,选A。另解：由sin³+ cos³ 知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时，所以排除B、C、D，选A)

[练习2]、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是(　 )

A、4　　　　B、5　　　　C、1　　　　D、2

(提示：设动点P的坐标是，由是椭圆的左、右焦点得，，则

，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的--)

[练习3]、若，则(　 )。

　　 A、　 B、　 C、　 D、

(提示：利用换底公式等价转化。

∴，选B)

[练习4]、且，，则(　 )

A、　　　 B、　

C、　　　 D、

(提示：此题条件较多，又以符号语言出现，

令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，

如图，用线段代表立马知道选C。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1，4，2，3代表容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“”收严一些变为“”。

[练习5]、已知若函数在上单调递增，则的取值范围是(　 )

A、　　 B、　　　 C、　　　 D、

(提示：化简得，∵在上递增，

∴，而在上单调递增

，又∴选B)

[练习6]、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是(　 )

A、　　 B、　　 C、　 D、

(提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的(或曰借来的)3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。)

[练习7]、方程的正整数解的组数是(　 )

A、24　　 B、 72　　 C、144　　 D、165

(提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即可，答案为，选D)

[练习8]、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是(　 )

A、35　　 B、56　　 C、84　　　 D、120

(提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为，选B)

[练习9]、(理科)已知，则=　 (　 )

A、4　　　　 B、-5　　 C、-4　　 D、5

(提示：逆向思维，分母()一定是存在于分子的一个因式，那么一定有，∴必然有，且，∴∴，选B)

[练习10]、异面直线所成的角为，

过空间一点O的直线与所成的角等于，

则这样的直线有(　 )条

A、1　　 B、2　　　 C、3　　 D、4

(提示：把异面直线平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为，则问题等价于过点O有多少条直线与所成的角等于，如图，恰有3条，选C)

[练习11]、不等式的解集为，那么不等式的解集为(　　 )

A、　　 B、 C、　 D、

(提示：把不等式化为，其结构与原不等式相同，则只须令，得，选A)

包括逐一验证法--将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

[例题]、设集合A和B都属于正整数集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是(　 )

A、2　　　 B、3 　　　C、4　　　 D、5

[解析]、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，选C。

[练习1]、(06安徽理6)将函数

的图象按向量a=平移以后的图象如图所示，则

平移以后的图象所对应的函数解析式是(　　)

A、　　　 B、　　　　　　　　　

C、　　　 D、

(提示：若选A或B，则周期为，与图象所示周期不符；若选D，则与 “按向量a=平移” 不符，选C。此题属于容易题)

[练习2]、(06重庆理9)如图，单位圆中的

长度为，表示与弦AB所围成的弓形的面的

2倍，则函数的图象是(　 )

A、　　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　　　　 D、

(提示：解法1　设，则，

则S_弓形=S_扇形- S_△AOB=

，当时，

，则，其图象位于下方；当时，，，其图象位于上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。

解法2　结合直觉法逐一验证。显然，面积不是弧长的一次函数，排除A；当从很小的值逐渐增大时，的增长不会太快，排除B；只要则必然有面积，排除C，选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D)

[练习3]、(06天津文8)若椭圆的中心点为E(-1，0)，它的一个焦点为F(-3，0)，相应于焦点的准线方程是，则这个椭圆的方程是(　 )

A、　　B、　C、　　D、

(提示：椭圆中心为(-1，0)，排除A、C，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2，，∴，选D)

[练习4]、不等式的解集是(　　 )

A、　　　　 B、　

C、　　　　　 D、

(提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取，代入原不等式，成立，排除B、C；取，排除D，选A)

[练习5]、(06江西理12)某地一年内的气温

Q(t)(℃)与时间t(月份)之间的关系如右图，

已知该年的平均气温为10℃。令C(t)表示时间

段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系

如下图，则正确的应该是(　 )

A、　　　　　　　　　　B、　　　　　　　　C、　　　　　　　　　　D、

(提示：由图可以发现，t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t＞6时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。)

[练习6]、集合与集合之间的关系是(　 )

A、　 B、　 C、　　 D、

(提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假；表示全体奇数，也表示奇数，故且B假，只有C真，选C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。)

[练习7]、当时，恒成立，则的一个可能的值是(　 )

A、5　　 B、　　 C、　　 D、

(提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则D也正确。选D)

[练习8]、(01广东河南10)对于抛物线上任意一点Q，点P(a，0)都满足，则的取值范围是(　 )

A、　　　 B、　　　　 C、　　　 D、

(提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d＜|PQ|,即表明符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较--

设点Q的坐标为，由，得，整理得，

∵ ，∴，即恒成立，而的最小值是2，∴，选B)

[练习9]、(07全国卷Ⅰ理12)函数的一个单调增区间是(　 )

A、　　 B、　　 C、　　 D、

(提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由，显然直接排除D，在A、B、C中只要计算两个即可，因为B中代入会出现，所以最好只算A、C、现在就验算A，有，符合，选A)

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

[例题]、(93年全国高考)在各项均为正数的等比数列中，若，则(　 )

A、12　　　　 B、10 　　　　C、8　　　　 D、

[解析]、思路一(小题大做)：由条件有从而

，

所以原式=，选B。

思路二(小题小做)：由知原式=，选B。

思路三(小题巧做)：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列即可，选B。

[练习1]、(07江西文8)若，则下列命题中正确的是(　　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：取验证即可，选B)

[练习2]、(06北京理7)设，则(　　 )

A、　　 B、　 C、　 D、

(提示：思路一：f(n)是以2为首项，8为公比的等比数列的前项的和，

所以，选D。这属于直接法。

思路2：令，则，对照选项，只有D成立。)

[练习3]、(06全国1理9)设平面向量a₁、a₂、a₃的和a₁+a₂+a₃=0，如果平面向量b₁、b₂、b₃满足| b_i|=2| a_i |，且a_i顺时针旋转以后与b_i同向，其中i=1、2、3则(　　 )

A、-b₁+b₂+b₃=0　 B、b₁-b₂+b₃=0　 C、b₁+b₂-b₃=0　 D、b₁+b₂+b₃=0

(提示：因为a₁+a₂+a₃=0，所以a₁、a₂、a₃构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b_i实际上是将三角形顺时针旋转后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D。)

[练习4]、若，则的图象是(　 )

A、　　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　　 D、

(提示：抓住特殊点2，，所以对数函数是减函数，图象往左移动一个单位得，必过原点，选A)

[练习5]、若函数是偶函数，则的对称轴是(　 )

A、　　 B、　　 C、　　　 D、

(提示：因为若函数是偶函数，作一个特殊函数，则变为，即知的对称轴是，选C)

[练习6]、已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，其前n和为S_n，那么

C_n¹S₁+ C_n²S₂+…+ C_nⁿS_n=(　 )

A、2ⁿ-3ⁿ　　 B、3ⁿ -2ⁿ　 C、5ⁿ -2ⁿ　 D、3ⁿ -4ⁿ

(提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式a_n=2^n-1求得和的公式S_n，再代入式子C_n¹S₁+ C_n²S₂+…+ C_nⁿS_n，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B)

[练习7]、(06辽宁理10)直线与曲线()的公共点的个数是(　 )

A、1　　　 B、2 　　　C、3　　　 D、4

(提示：取，原方程变为，这是两个椭圆，与直线有4个公共点，选D)

[练习8]、如图左，若D、E、F分别是

三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，

且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平

面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分

的体积之比为(　 )

A、4：31　　　　　　 B、6：23 　

C、4：23　　　　　　 D、2：25

(提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积

则，，选C)

[练习9]、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则的取值是(　　 )

A、-1　　　 B、1 　　　C、-2　　　 D、2

(提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有，，选B。)

[练习10]、双曲线方程为，则的取值范围是(　 )

A、　 B、　 C、　 D、或

(提示：在选项中选一些特殊值例如代入验证即可，选D)

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

[例题]、(07江苏6)设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有(　 )。

A、　　　　　　　 B、

　C、　　　　　　　 D．

[解析]、当时，，的

图象关于直线对称，则图象如图所示。

这个图象是个示意图，事实上，就算画出

的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B，

[练习1]、若P(2，-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　 )

A、　 B、 C、 D、

(提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A)

[练习2]、(07辽宁)已知变量、满足约束条件，则的取值范围是(　　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选A。)

[练习3]、曲线

与直线有两个公共点时，

的取值范围是(　 )

A、　　　 B、　　

　C、　　 D、

(提示：事实上不难看出，曲线方程的图象为，表示以(1，0)为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线过定点(2，4)，那么斜率的范围就清楚了，选D)]

[练习4]、函数在区间

A上是增函数，则区间A是(　　 )

A、　　　 B、　　

　 C、　　 D、　　

(提示：作出该函数的图象如右，知应该选B)

[练习5]、曲线与直线

有两个交点，则的取值范围是(　 )

A、或　　　 B、

C、或　　　 D、

(提示：作出曲线的图象如右，因为直线

与其有两个交点，则或，选A)

[练习6]、(06湖南理8)设函数，集合，，若，则实数的取值范围是(　 )

A、　　 B、　　　 C、　　 D、

(提示：数形结合，先画出的图象。。当时，图象如左；当时图象如右。

由图象知，当时函数在上递增，，同时的解集为的真子集，选C)

[练习7]、(06湖南理10)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是(　 )

A、　 B、　 C、　　D、

(提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为

，由题意知，圆心到直线

的距离应该满足，在已知圆中画一个半

径为的同心圆，则过原点的直线与小圆有公共点，∴选B。)

[练习8]、(07浙江文10)若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则(　 )

A、|2b| ＞ | a-2b |　　　 B、|2b| ＜ | a-2b |

C、|2a| ＞ | 2a-b |　　　 D、|2a| ＜ | 2a-b |

(提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此

先把条件进行等价转换。|a-b|=| b ||a-b|²=

| b |² a²+b²-2a·b= b² a·(a-2b)=0

a⊥(a-2b)，又a-(a-2b)=2b，所以|a|，| a-2b |，

|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，

∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB，

再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。)

[练习9]、方程cosx=lgx的实根的个数是(　 )

A、1　　 B、2　　 C、3　　　 D、4

(提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C)

[练习10]、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，，则一定有(　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：若，则

成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立)

[练习11]、(07天津理7)在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间[1，2]上是减函数，则(　 )

A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

(提示：数形结合法，是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B)

[练习12]、(07山东文11改编)方程的解的取值区间是(　 )

A、(0，1)　 B、(1，2)　 C、(2，3)　 D、(3，4)

(提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数的图象，则立刻知选B，如上右图)

又叫做原始操作法，有别于直接法，一是指通过现场可以利用的实物如三角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案的方法；二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤，从而发现规律，归纳出答案的方法。

[例题]、(据93年全国高考题改编)如图ABCD

是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别

沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合于P，则面

PCD和面ECD所成的二面角为(　　)度。　　　　　　　　　　　　　　　

A、　 15　　　　　 B、30　　　

C、　 45　　　　　 D、60

[解析]、你当然可以用三垂线定理来解，但不如现场操作更快：用正方形纸片折叠出三棱锥E-PCD，不难看出PE⊥面PCD，设二面角大小为，则由射影面积公式有，，选B。

[练习1]已知，则的值(　 )

A、必为奇数　 B、必为偶数　 C、与的奇偶性相反　 D、与的奇偶性相同

(提示：原始操作：令n=1、2，再结合逻辑排除法，知选A；也可以展开看)

[练习2]如果的定义域为R，，且，，则=(　　 )

A、1　　　 B、-1 　　　C、　　D、-lg3-lg5

(提示：2008是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题！关键是求出周期值。现在进行现场操作：f(1)=lg3-lg2，f(2)=lg3+lg5，f(3)=f(2)-f(1)=…=1，f(4)= f(3)-f(2)=…lg2-lg3，f(5)= f(4)- f(3)=…-lg5-lg3，f(6)=f(5)- f(4)=…-1，f(7)=f(6)- f(5)=…lg3-lg2= f(1)，所以周期是6。=f(334×6+4)= f(4)= lg2-lg3，选C。当然你如果演算能力好，可以这样做：

==，所以周期是6。其实凡属于抽象函数、抽象数列、抽象不等式问题，解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已)

[练习3]、如图所示是某城市的网格状道路，中

间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从

城市的西南角的A处要到达东北角的B处，最短的

路径有多少条？(据加拿大数学竞赛题改编)

A、210　　 B、110 　C、24　　 D、206

(提示：原始操作：先假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的走法数(都是1)；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是2；……，这样步步回退，直到A处，就知道答案了！这有点类似于杨晖三角的规律。当然也可以用公式法：先求出没有公园时的走法数，再求出经过公园中心的走法数，所以答案是-=110，选B)

[练习4]、如上图所示是一个长方体

骨架，一只蚂蚁在点M处得到信息：N处

有糖！为了尽快沿着骨架爬行到N处，该

蚂蚁可走的最短路径有(　　 )

A、10　条　 B、20　 C、30　　 D、40

(提示：原始操作：假设从点N处逆着

往点M方向退回来，则在所经过的交点处的

走法数都容易写出，如图。所以从点M处出

发时一共有4+4+12=20种走法。选B)

[练习5]、有编号为1、2、3、4的四个小球放入有同样编号的四个盒子中，每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有(　 )

A、9　　 B、16 　　C、25　　　 D、36

(提示：这道高考题是典型错位排列问题，思维清晰的时候，你可能这样考虑：完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球，应该用乘法原理，1号盒可以选2、3、4号球，有3种选择；2号盒可以选1、3、4号球，也有3种选择；此时3、4号盒都只有唯一选择，3×3×1×1=9，因此答案是9。也可用现场操作之法破解，如图，每一列对应一种放法，一共有9种，选A)

	球的编号
1号盒	2	2	2	3	3	3	4	4	4
2号盒	1	3	4	1	4	4	3	3	1
3号盒	4	4	1	4	1	2	1	2	2
4号盒	3	1	3	2	2	1	2	1	3

[练习6]、如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现将三个圆片移动到B柱上，要求每次只移动一片(叫移动一次)，被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱子之一，且大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动的次数是(　 )

A、3　　　 B、5　　　 C、7　　　 D、9

(提示：现场操作，选C)

[练习7]、如左图，正方体容器中，棱长为1，E，F分别是所在棱的中点，G是面的中心，在E、F、G三处各开有一小孔，则最大盛水量是(　 )

A、　　 B、　　　 C、　　 D、

(提示：你可以看着图现场想象一下，怎样才能使盛水量最大呢？你首先难免考虑由E、F、G确定一个水平面，如中图，经计算发现盛水量是，此时DD^/着地；难道不考虑只有点D着地的情形吗？…使水平面如右图那样呢？计算得盛水量是，原来点F并不在水平面内！选D)

[练习8]、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装纸将其完成包住(不能裁剪但可以折叠)，那么包装纸的边长最小应该是(　　 )

A、　 B、　

C、　　D、

(提示：现场用纸做一个正四棱锥，

先如图放样，其实不待你做成就知

道思路了--这已经相当于把正四

棱锥展开了，那么包装纸的边长就是正方形的边长，选B)

[练习9]、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是和，则的范围是(　　 )

A、　　 B、　 C、　 D、

(提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C)

[练习10]、(05全国)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有(　　 )个。

A、3　　 B、4　　 C、6　　　 D、7

(提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D)

[练习11]、(07高考模拟)若一个三位正整数如“a₁a₂a₃”满足a₁＜a₂且a₃ ＜a₂，则称这样的三位数为凸数(如343、275、120等)，那么所有凸数个数为(　 )

A.240　　　 B.204　　　 C.729　　　 D.920

( 提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A)

并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。

[例题]、(07重庆文12)已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　 )

A、　 B、　　 C、　 D、

[解析]、设长轴长为，则椭圆方程为，与直线方程联立消去得，由条件知，即

，得(舍)，(舍)，

∴，选C 。

[练习1]、函数

的部分图象如右，则=(　 )

A、0　 B、　　 C、2+　 D、2-

(提示：直接法。由图知，A=2，，，∴，由图象关于点(4，0)以及直线对称知：，由2009=251×8+1知，=0+=，选B)

[练习3]、正方体中，E为棱AB的中点，则二面角C- -B的正切值为(　　 )

A、　　 B、　　 C、　　　 D、2

(提示：用直接法。取的中点F，连接AF、CF、CE。过点B做A₁E的延长线的垂线于M，连接CM，由CB面ABB₁A₁，得CMAE，所以就是二面角C-A₁E-B的平面角，现在设CB=2，则，在Rt△CMB中，，选B)

[练习4]、设是椭圆

的两个焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与

椭圆的一个交点为M，若直线与圆相切，

则该椭圆的离心率是(　　 )

A、　 B、　　 C、　　 D、

(提示：用直接法。由已知可得，又，∴，又直线与圆相切，∴，∴，即，解得，∵，∴，选B)

[练习5]、函数的图象关于原点成中心对称，则在[-4，4]上的单调性是(　 )

A、增函数　　　 B、在[-4，0]上是增函数， [0，4]上是减函数

C、减函数　　　 D、在[-4，0]上是减函数， [0，4]上是增函数

(提示：的图象关于原点成中心对称，为奇函数，∴，∴，易知上，∴递减，选B)

[练习6]、，则=(　　 )

A、-3　　　　 B、3　　　　 C、2　　　　 D、-2

(提示：令得，令可得，选A)

[练习7]、(06重庆文10)若，，，则(　　 )

A、　　　 B、　　　 C、　　　 D、

(提示：∵，∴，∴；同理，∴(舍)或，所以选B)

[练习8]、(06全国Ⅰ理8)抛物线上的点到直线的距离的最小值是(　 )

A、　　　　　B、　　　　　C、　　　D、3

(提示：设直线与相切，则联立方程知，令，有，∴两平行线之间的距离，选A)

[练习9]、(06山东理8)设则p是q的(　 )

A、充分不必要条件　　　 B、必要不充分条件

C、充要条件　　　　　　D、既不充分也不必要条件

(提示：分别解出p：或；q：或或，则显然p是q的充分不必要条件，选A。另外，建议解出p以后不要再解q，以p中的特殊值代入即可作出判断)

[练习10]、(广东05理10)已知数列满足，，

，若，则=(　 )

A、　　　 B、3　　　 C、4　　 D、5

(提示：由条件有，∴，累加得，代入得，两边同取极限得，

，即，选B)

有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

[例题]、已知是方程的根，是方程的根，则(　 )

A、6　　　 B、3 　　C、2　　　　 D、1

[解析]、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一

坐标系中作出四个函数，，，，

的图象，设与的图象交于点A，其

横坐标为；与的图象交于点C，其横坐标

为；与的图象交于点B，其横坐标为。因为与为反函数，点A与点B关于直线对称，所以2×=3，选B。

　此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为是方程的根，所以是方程的根，所以所以选B。

[练习1]、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　 )

A、24个　　 B、30个　　　 C、40个　　　 D、60个

( 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有种方法；第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与百位有种，由乘法原理，共有=24个，选B。用估计法：五个数字可以组成个三位数，其中偶数不到一半，选B。)

[练习2]、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于(　　)元

A、(4200，4400)　 B、(4400，4600)C、(4600，4800)D、(4800，5000)

(提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以的等比数列，所以2008年工资性收入为元；其它收入构成以1350为首项，公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。)

[练习3]、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是(　 )

A、　 B、　 C、　　 D、

(提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为　，

则S_球=，选D)

[练习4]、如图，在多面体ABCDEF中，

四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

，EF与平面ABCD的距离为2，则

该多面体的体积为(　　 )

A、　　 B、5 　　C、6　　 D、

(提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而=6，所以只能选D)

[练习5]、在直角坐标平面上，已知A(-1，0)、B(3，0)，点C在直线上，若∠ACB ＞，则点C的纵坐标的取值范围是(　 )

A、 B、

C、　 D、

(提示：如图，M、N在直线上，且∠AMB=∠ANB=，要使∠ACB ＞，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的纵坐标是可以为负值的，选D)

[练习6]、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是，底面三角形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为(　 )

A、　　 B、　　 C、　　 D、

(提示：你可以先求出的面积为，再利用射影面积公式求出侧面面积为；你也可以先求出的面积为，之后求出P在底面的射影到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC的高的一半，再利用等体积法求得结果，但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是8，则面积为，这个面积当然比原来大了一点点，再利用射影面积公式求出侧面面积为，四个选项中只有与之最接近，选B)

[练习7]、(07海南、宁夏理11文12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表

甲的成绩
环数	7	8	9	10
频数	5	5	5	5

乙的成绩
环数	7	8	9	10
频数	6	4	4	6

丙的成绩
环数	7	8	9	10
频数	4	6	6	4

分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有(　　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差--等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法)

[练习8]、(07全国Ⅱ理 12)设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若，则等于(　　 )

A、9　　　 B、6　　　 C、4　　　 D、3

(提示：很明显(直觉)三点A、B、C在该抛物线上的图

形完全可能如右边所示(数形结合)，可以估计(估值法)

到，稍大于(通径，长为4)，

∴，选B。

当然也可以用定义法：由可知，由抛物线定义有，所以=6)

[练习9]、(07福建理12)如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是(　 )

A、　　　 B、　　　 C、　　 D、

(提示：用估值法，至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也不同列，这种情况仅有6种，在总共种取法数中所占比例很小，∴选D)

[练习10](07湖北理9)连续投掷两次骰子的点数为，记向量b=(m，n)

与向量a=(1，-1)的夹角为，则的概率是(　 )

A、　　　 B、　　 C、　　 D、

(提示：用估值法，画个草图，立刻发现在

范围内(含在OB上)的向量b的个数

超过一半些许，选C，完全没有必要计算)

[练习11](05年四川)若，则(　 )

A、　　 B、　 C、　 D、

(提示：注意到，可知不能够用单调性法去判断。问题等价于的时候比较a、b、c的大小，∵lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg5=0.6990，∴ a=0.1505，b=0.1590， c=0.1398，选B。

当然，直接用作差比较法也是可以的。)

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

[例题]、(06年全国卷Ⅰ，11)用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棍围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、8 cm²　 B、6 cm² C、3 cm² D、20 cm²

[解析]、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为cm²，选B。)

[练习1]、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是(　 )

A、　 B、　　 C、　　 D、

(提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角，且；当锥体且底面正多边形相对固定不变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，且选A)

[练习2]、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记，则一定满足(　　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S_对面，不妨设S=S₁，则S₂+S₃+S₄那么，选项中只有A符合，选A。当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，，凭直觉知道选A)

[练习3]、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为，侧面与底面所成角为，则的值是(　　 )

A、1　　　 B、　　　 C、0　　　 D、-1

(提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，那么

，选D)

[练习4]、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么的值是(　　 )

A、1　　　 B、　　　 C、　　　 D、-1

(提示：进行极限分析，时，点，此时高，那么，所以，选A。)

[练习5]、若则(　 )

A、　　 B、　　 C、　　　 D、

(提示：进行极限分析，当时，；当时，，从而，选A)

[练习6]、双曲线的左焦点为F，

点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直

线PF的斜率的变化范围是(　　 )

A、　B、

　 C、　 D、

(提示：进行极限分析，当P时，PF的斜率；当时，斜率不存在，即或；当P在无穷远处时，PF的斜率。选C。)

[练习7]、(06辽宁文11)与方程的曲线关于直线对称的曲线方程为(　　 )

A、　　　　　 B、

C、　　　　 D、

(提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为，是个增函数。再令那么那么根据反函数的定义，在正确选项中当时应该有只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。)

[练习8]、若，则对任意实数n，(　 )

A、1　　 B、区间(0，1)　　 C、　 D、不能确定

(提示：用估值法，由条件完全可以估计到中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1)

[练习9]、已知，且，，则之间的大小关系是(　 )

A、　 B、　 C、　 D、与c的值有关

(提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当时，；当时，，可见函数递减，∴选B)

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

[例题]、已知，则的值为(　　)