摘要：有些问题.属于比较大小或者确定位置的问题.我们只要对数值进行估算.或者对位置进行估计.就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间. [例题].已知是方程的根.是方程的根.则( ) A.6 B.3 C.2 D.1 [解析].我们首先可以用图象法来解:如图.在同一 坐标系中作出四个函数.... 的图象.设与的图象交于点A.其 横坐标为,与的图象交于点C.其横坐标 为,与的图象交于点B.其横坐标为.因为与为反函数.点A与点B关于直线对称.所以2×=3.选B. 此属于数形结合法.也算不错.但非最好.现在用估计法来解它:因为是方程的根.所以是方程的根.所以所以选B. [练习1].用1.2.3.4.5这五个数字.组成没有重复数字的三位数.其中偶数共有( ) A.24个 B.30个 C.40个 D.60个 ( 提示:如果用直接法可以分两步:先排个位.在两个偶数中任取一个有种方法,第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与百位有种.由乘法原理.共有=24个.选B.用估计法:五个数字可以组成个三位数.其中偶数不到一半.选B.) [练习2].农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成.2003年某地农民人均收入为3150元.其中工资性收入为1800元.其它收入1350元.预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长.其它收入每年增加160元.根据以上数据.2008年该地区农民人均收入介于( )元 A. B.C.D. (提示:由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以的等比数列.所以2008年工资性收入为元,其它收入构成以1350为首项.公差为160的等差数列.所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元.所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元.选B.) [练习3].已知过球面上A.B.C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半.且AB=BC=CA=2.则球面面积是( ) A. B. C. D. (提示:用估计法.设球半径R.△ABC外接圆半径为 . 则S球=.选D) [练习4].如图.在多面体ABCDEF中. 四边形ABCD是边长为3的正方形.EF∥AB. .EF与平面ABCD的距离为2.则 该多面体的体积为( ) A. B.5 C.6 D. (提示:该多面体的体积比较难求.可连接BE.CF.问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和.而=6.所以只能选D) [练习5].在直角坐标平面上.已知A.点C在直线上.若∠ACB ＞.则点C的纵坐标的取值范围是( ) A. B. C. D. (提示:如图.M.N在直线上.且∠AMB=∠ANB=.要使∠ACB ＞.点C应该在M.N之间.故点C的纵坐标应该属于某一开区间.而点C的纵坐标是可以为负值的.选D) [练习6].已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是.底面三角形三边长分别是7.8.9.则此三棱锥的侧面面积为( ) A. B. C. D. (提示:你可以先求出的面积为.再利用射影面积公式求出侧面面积为,你也可以先求出的面积为.之后求出P在底面的射影到个侧面的距离.都是三棱锥P-ABC的高的一半.再利用等体积法求得结果.但好象都不如用估值法:假设底面三角形三边长都是8.则面积为.这个面积当然比原来大了一点点.再利用射影面积公式求出侧面面积为.四个选项中只有与之最接近.选B) [练习7].甲.乙.丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次.三人测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差.则有( ) A. B. C. D. (提示:固然可以用直接法算出答案来.标准答案正是这样做的.但是显然时间会花得多.你可以用估计法:他们的期望值相同.离开期望值比较近的数据越多.则方差--等价于标准差会越小!所以选B.这当然也可以看作是直觉法) [练习8].设F为抛物线的焦点.A.B.C为该抛物线上的三点.若.则等于( ) A.9 B.6 C.4 D.3 三点A.B.C在该抛物线上的图 形完全可能如右边所示.可以估计 到.稍大于. ∴.选B. 当然也可以用定义法:由可知.由抛物线定义有.所以=6) [练习9].如图.三行三列的方阵中有9个数.从中任取三个数.则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) A. B. C. D. (提示:用估值法.至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也不同列.这种情况仅有6种.在总共种取法数中所占比例很小.∴选D) [练习10]连续投掷两次骰子的点数为.记向量b=(m.n) 与向量a=的夹角为.则的概率是( ) A. B. C. D. (提示:用估值法.画个草图.立刻发现在 范围内的向量b的个数 超过一半些许.选C.完全没有必要计算) [练习11]若.则( ) A. B. C. D. (提示:注意到.可知不能够用单调性法去判断.问题等价于的时候比较a.b.c的大小.∵lg2=0.3010.lg3=0.4771.lg5=0.6990.∴ a=0.1505.b=0.1590. c=0.1398.选B. 当然.直接用作差比较法也是可以的.)
