摘要：又叫做原始操作法.有别于直接法.一 是指通过现场可以利用的实物如三角板.铅笔.纸张.手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案的方法,二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤.从而发现规律.归纳出答案的方法. [例题].如图ABCD 是正方形.E是AB的中点.将△DAE和△CBE分别 沿虚线DE和CE折起.使AE和BE重合于P.则面 PCD和面ECD所成的二面角为( )度. A. 15 B.30 C. 45 D.60 [解析].你当然可以用三垂线定理来解.但不如现场操作更快:用正方形纸片折叠出三棱锥E-PCD.不难看出PE⊥面PCD.设二面角大小为.则由射影面积公式有..选B. [练习1]已知.则的值( ) A.必为奇数 B.必为偶数 C.与的奇偶性相反 D.与的奇偶性相同 (提示:原始操作:令n=1.2.再结合逻辑排除法.知选A,也可以展开看) [练习2]如果的定义域为R. .且..则=( ) A.1 B.-1 C. D.-lg3-lg5 (提示:2008是个很大的数.所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题!关键是求出周期值.现在进行现场操作:f=lg3+lg5.f= f= f=--lg5-lg3.f=--1.f=-lg3-lg2= f(1).所以周期是6.=f= lg2-lg3.选C.当然你如果演算能力好.可以这样做: ==.所以周期是6.其实凡属于抽象函数.抽象数列.抽象不等式问题.解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已) [练习3].如图所示是某城市的网格状道路.中 间是公园.公园四周有路.园内无公路.某人驾车从 城市的西南角的A处要到达东北角的B处.最短的 路径有多少条?(据加拿大数学竞赛题改编) A.210 B.110 C.24 D.206 (提示:原始操作:先假设已经到达了与B共线的各交叉点.标注上此时的走法数,再退回至离B最近的对角顶点处.标注上此时的走法数是2,--.这样步步回退.直到A处.就知道答案了!这有点类似于杨晖三角的规律.当然也可以用公式法:先求出没有公园时的走法数.再求出经过公园中心的走法数.所以答案是-=110.选B) [练习4].如上图所示是一个长方体 骨架.一只蚂蚁在点M处得到信息:N处 有糖!为了尽快沿着骨架爬行到N处.该 蚂蚁可走的最短路径有( ) A.10 条 B.20 C.30 D.40 (提示:原始操作:假设从点N处逆着 往点M方向退回来.则在所经过的交点处的 走法数都容易写出.如图.所以从点M处出 发时一共有4+4+12=20种走法.选B) [练习5].有编号为1.2.3.4的四个小球放入有同样编号的四个盒子中.每盒一球.则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有( ) A.9 B.16 C.25 D.36 (提示:这道高考题是典型错位排列问题.思维清晰的时候.你可能这样考虑:完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球.应该用乘法原理.1号盒可以选2.3.4号球.有3种选择,2号盒可以选1.3.4号球.也有3种选择,此时3.4号盒都只有唯一选择.3×3×1×1=9.因此答案是9.也可用现场操作之法破解.如图.每一列对应一种放法.一共有9种.选A) 球的编号 1号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1 3号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2 4号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3 [练习6].如图A.B.C是固定在桌面上的三根立柱.其中A柱上有三个大小不同的圆片.下面的直径总比上面的大.现将三个圆片移动到B柱上.要求每次只移动一片.被移动的圆片只能放入A.B.C三个柱子之一.且大圆片不能叠在小圆片的上面.那么完成这件事情至少要移动的次数是( ) A.3 B.5 C.7 D.9 [练习7].如左图.正方体容器中.棱长为1.E.F分别是所在棱的中点.G是面的中心.在E.F.G三处各开有一小孔.则最大盛水量是( ) A. B. C. D. (提示:你可以看着图现场想象一下.怎样才能使盛水量最大呢?你首先难免考虑由E.F.G确定一个水平面.如中图.经计算发现盛水量是.此时DD/着地,难道不考虑只有点D着地的情形吗?-使水平面如右图那样呢?计算得盛水量是.原来点F并不在水平面内!选D) [练习8].一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a.现用一张正方形的包装纸将其完成包住.那么包装纸的边长最小应该是( ) A. B. C. D. (提示:现场用纸做一个正四棱锥. 先如图放样.其实不待你做成就知 道思路了--这已经相当于把正四 棱锥展开了.那么包装纸的边长就是正方形的边长.选B) [练习9].一直线与直二面角的两个面所成的角分别是和.则的范围是( ) A. B. C. D. (提示:你可以拿一本书竖立在桌面上.拿一支笔代表直线去比划.会发现当中有一个角等于的时候.另一个角等于0.可以取到,当直线与二面角的棱重合时.可以取到0.所以选C) [练习10].不共面的四个定点到平面的距离都相等.这样的平面共有( )个. A.3 B.4 C.6 D.7 (提示:先画一个三棱锥.然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间.发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形.分别有3.4种可能.如图.选D) [练习11].若一个三位正整数如“a1a2a3 满足a1＜a2且a3 ＜a2.则称这样的三位数为凸数.那么所有凸数个数为( ) A.240 B.204 C.729 D.920 ( 提示:进行原始操作以发现规律:第二位数字不可能为1.若为2.则左边有1.右边有0.1可选.此时有1×2个凸数,若为3.则左边有1.2.右边有0.1.2可选.此时有2×3个凸数,若为4.则左边有1.2.3.右边有0.1.2.3可选.此时有3×4个凸数,--若为9.则--此时有8×9个凸数.所以一共有1×2+2×3+3×4+--+8×9=240个凸数.选A)

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