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教学环节 |
教学内容 |
师生互动 |
设计意图 |
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复 习 引 入 |
1、角的概念[0º,360º] 2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。 |
1、初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形  这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是  ，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？(运动) |
1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。 2、为引入正角与负角的概念做好准备。 |
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新 概 念 产 生 |
1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角  一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210º，β=-150º，γ=660º，    特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角  或 可以简记成⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 1° 角有正负之分 如：a=210° b=-150° g=660° 2° 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周(360°×2=720°) 3周(360°×3=1080°) 3° 还有零角 一条射线，没有旋转 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样． |
1、教师用多媒体演示角的形成。 2、教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边” 3、教师设计以下问题组织学生讨论思考回答： (1)正角与负角有何本质区别？ (2)正角与负角的实际意义有何不同？ (3)角的概念推广以后应该包括哪些角？ 4、教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。 |
1、使学生通过亲手作图获取对新概念的直观印象。 2、促使学生从本质上认识角的形成以及角的分类。 3、通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算。 4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。 |
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新 概 念 形 成 |
2．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于  轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)例如：30°、390°、-330°是第Ⅰ象限角，300°、-60°是第Ⅳ象限角，585°、1180°是第Ⅲ象限角，-2000°是第Ⅱ象限角等 |
提出问题，学生讨论回答： (1)在坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？ (2)你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？ (3)分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。 |
学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。 |
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新 概 念 形 成 |
3．终边相同的角 ⑴观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与  个周角的和：390°=30°+360°  -330°=30°-360°  30°=30°+0×360°  1470°=30°+4×360°  -1770°=30°-5×360°  ⑶结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：  即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和⑷注意以下四点： (1)  (2) a是任意角； (3)  与a之间是“+”号，如 -30º，应看成+(-30º)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍 |
引导学生观察分析： (1)终边相同的角有何特点？(相差整数个周角)。 (2)试表示出与30°终边相同的角。 (3)用集合表示终边相同的角请注意以下问题： ①  ；②a是任意角； ③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 |
从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。 |
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讲 解 范 例 |
例1 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 解：⑴∵-120º=-360º+240º， ∴240º的角与-140º的角终边相同，它是第三象限角． ⑵∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角． ⑶∵-950º12’=-3  360º+129º48’，∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角． 例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在  间的角写出来：   解：(1)  S中在-360º-720间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º． (2)  S中在-360º-720间的角是 0×360º-21º=-21º； 1×360º-21º=339º； 2×360º-21º=699º． (3)  S中在-360º-720º间的角是 -2×360º+363º14’=-356º46’； -1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’． |
1、选例1的第一小题板书来示范解题的步骤，其他例题请几个学生板演，，其他学生在下面自己完成，针对板演同学所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳。 2、例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法。 |
1、例1主要让学生学会如何在0º到360º范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。 2、例4主要想解决：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：  即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。在这里：① ；②a是任意角； ③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 |
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课 堂 练 习 |
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？0º-90º的角是锐角吗？ (答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0º-90º的角可能是零角，故它也不一定是锐角．) 总结有关角的集合表示． 锐角：{θ|0º＜θ＜90º}， 0º-90º的角：{θ|0º≤θ≤90º}； 小于90º角：{θ|θ＜90º}． 2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2)-75º，(3)855º，(4)-510º． (答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)     |
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课堂练习的目的是对本节课的内容进行综合回顾，教师可以放手让学生自行解决，然后教师加以点拨。 |
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归 纳 小 结 |
从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。 |
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90º的角”“第一象限角”“0º到90º的角”和“锐角”的不同意义. |
请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。 |
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课 后 作 业 |
1.下列命题中正确的是( ) A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α+k·360º(k∈Z)，则α与β终边相同 2.与120º角终边相同的角是( ) A.－600º+k·360º，k∈Z B.－120º+k·360º，k∈Z C.120º+(2k+1)·180º，k∈Z D.660º+k·360º，k∈Z 3.若角α与β终边相同，则一定有( ) A.α+β＝180º B.α+β＝0º C.α－β＝k·360º，k∈Z D.α+β＝k·360º，k∈Z 4.与1840º终边相同的最小正角为 ，与－1840º终边相同的最小正角是 . 5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 . 6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度). 7.在直角坐标系中，作出下列各角 (1)360º (2)720º (3)1080º (4)1440º 8.已知A＝{锐角}，B＝{0º到90º的角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90º的角}． 求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D. 9.将下列各角表示为α+k·360º(k∈Ζ，0º≤α＜360º)的形式，并判断角在第几象限. (1)560º24′ (2)－560º24′ (3)2903º15′ (4)－2903º15′ (5)3900º (6)－3900º |
本次作业主要涉及以下重要内容： 1、正角、负角、象限角的基本概念； 2、终边相同的角的概念及终边相同的角的集合表示法。 这些内容对以后的学习有很重要的作用，请同学们认真落实完成。 |
通过作业让学生巩固以下三点： 1、角的概念推广后的范围； 2、弄清角的分类； 3、终边相同的角的集合表示法。 |