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A |
B |
C |
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硒(单位含量/kg) |
4 |
4 |
6 |
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锌(单位含量/kg) |
6 |
2 |
4 |
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单位(元/kg)
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9 |
5 |
10 |
解 设A、B、C三种食品各取x，y，z kg，总价S元。依题意列混合组
视S为参数，(1)代入(2)整体消去x+y得：4(100-z)+6z≥500
z≥50,
(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y≥950,
由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤12.5，
再把(1)与(4)联立消去x得：S=900-4y+z≥900+4×(-12.5)+50,即S≥900。
∴ 当x=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时，S取最小值900元。
评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元，用一个(或多个)未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几个未知数范围，再用它们的范围来放缩(求出)参数的范围。
涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，请同学们解混合组
其中a, n为正整数，x，y为正数。试确定参数n的取值。
的整数解共5个，则a的取值范围是________。 
有解，将其表在数轴上，
如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4<a≤-3。
的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。 
其解集为 
, ∴ 
。
评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点4、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。 
得x-2<0,脱去绝对值号，得
。 
与已知解集
与解集
有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。 
，
当x>4时，得4<5a-6
或2<a<3为所求。 
的解集是x>a，则a的取值范围是( )。
A、a<3 B、a=3 C、a>3 D、a≥3 
，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。
的解集为
，求k值。 
，∴
。 
的解集是x>3，则m的取值范围是( )。
A、m≥3 B、m=3 C、m<3 D、m≤3 
，比较已知解集x>3，得3≥m, ∴选D。 
的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_____。
也为其解集，比较得 
例4.求不等式组
的正整数解。
|
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步骤： |
解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，
解不等式 ≤1得x≤2，
∴ 
∴原不等式组解集为x≤2，
∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2 |
1、先求出不等式组的解集。 2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。 |
例5，m为何整数时，方程组
的解是非负数？
分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即
。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。
解：解方程组
得
∵方程组的解是非负数，∴
即 
解不等式组
∴此不等式组解集为
≤m≤
,
又∵m为整数，∴m=3或m=4。
例6，解不等式
<0。
分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1)
或(2)
因此，本题可转化为解两个不等式组。
解：∵<0, ∴(1) 
或(2) 
由(1)
∴无解，
由(2)
∴-
<x<
, ∴原不等式的解为-<x<。
例7.解不等式-3≤3x-1<5。
解法(1):原不等式相当于不等式组
解不等式组得-
≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。
解法(2):将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得，
-≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。
例8.x取哪些整数时，代数式
与代数式
的差不小于6而小于8。
分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，
解：由题意可得，6≤-<8,
将不等式转化为不等式组，
∴
∴解不等式(1)得x≤6, 解不等式(2)得x>-
,
∴ 
∴原不等式组解集为-<x≤6,
∴-<x≤6的整数解为x=±3, ±2,
±1, 0, 4, 5, 6。
∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。
例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。
分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。
解法(1):设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),
由题意可得：20<10x+(x+2)<40,
解这个不等式得，1
<x<3
,
∵x为正整数，∴1<x<3的整数为x=2或x=3，
∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,
当x=3时，∴10x+(x+2)=35,
答：这个两位数为24或35。
解法(2):设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y,
由题意可得
(这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”)。
将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,
解不等式得：1<x<3,
∵x为正整数，1<x<3的整数为x=2或x=3,
∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,
当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。
答：这个两位数为24或35。
解法(3):可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。
例10.解下列不等式：
(1)|
|≤4； (2)
<0； (3)(3x-6)(2x-1)>0。
(1)分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|x|<a, (a>0)可知-a<x<a, 将其转化为
；若|x|>a, (a>0)则x>a或x<-a。
解：||≤4, -4≤≤4,
∴由绝对值的定义可转化为：
即 
解不等式(1)，去分母：3x-1≥-8, 解不等式(2)去分母：3x-1≤8,
移项：3x≥-8+1, 移项：3x≤8+1,
合并同类项：3x≥-7 合并同类项：3x≤9,
系数化为1，∴x≥-
, 系数化为1：∴x≤3,
∴
， ∴原不等式的解集为-≤x≤3。
(2)分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式(也是以后要讲的分式形式)，右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵ <0， ∴3x-6与2x+1异号，
即：I 
或II 
解I的不等式组得
, ∴不等式组无解，
解II的不等式组得
, ∴不等式组的解集为-<x<2,
∴原不等式的解集为-<x<2。
(3)分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式，右边是零。它可以理解为“当x取何值时，两个一次式的积是正数？”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为正值。因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵ (3x-6)(2x+1)>0, ∴(3x-6)与(2x+1)同号，
即I
或II 
解I的不等式组得
, ∴不等式组的解集为x>2,
解II的不等式组得
, ∴不等式组的解集为x<-,
∴原不等式的解集为x>2或x<-。
说明：ab>0(或
>0)与ab<0(或<0)这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。这类问题一般转化如下：
(1)ab>0(或>0), ∴a、b同号，
即I
或II 
, 再分别解不等式组I和II，
如例10的(3)题。
(2)ab<0(或<0),
∵ab<0(或<0), ∴a、b异号，
即I
或II
,
再分别解不等式组I和不等式组II。
例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式
-1<
, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-
的值。
分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a3-即可。
解：∵整数x满足3x-4≤6x-2和-1<,
∴x为
，解集的整数值，
解不等式(1)，得x≥-, 解不等式(2)得，x<1,
∴
的解集为-≤x<1。 ∴-≤x<1的整数x为x=0,
又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2,
∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中, ∴3(0+a)=5a-2, ∴a=1,
当a=1时，5a3-=5×13-
=4,
答：代数式5a3-的值为4。
一次不等式(组)中参数取值范围求解技巧
(提高部分)
已知一次不等式(组)的解集(特解)，求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量(参数)取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。