因为E∈AB,H∈AD.所以EH 平面ABD,P∈平面ABD.

同理: P∈平面CBD.

又因为平面ABD∩平面CBD=BD,所以点P在直线BD上.

例1.点A平面BCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,若EH与FG交于P.

求证:点P在直线BD上.

证明：因为EH∩FG=P,所以P∈EH,P∈FG.

刚才说A、B两个点确定一条直线，得出：一条直线及直线外一点确定一个平面的结论，现在A、C两个点也确定一条直线，直线AB、AC是什么位置关系？

   生：相交。

   师：那么你又能得到什么结论？

   生：过两条相交直线有且仅有一个平面。

师：好！板书：过两条相交直线有且仅有一个平面，试着证明一下！

（学生证明，教师转后，投影下列证明过程）

     证明：根据相交直线的定义，在同一平面内有一个公共点的直线称相交直线，所以过l₁和l₂一定有一个平面α。假设过l₁和l₂还有一个平面β，设l₁∩l₂=A,在l₁、l₂上再各取一点B、C，根据不在同一直线上的三点A、B、C有且仅有一个平面，故α与β重合，故α是唯一的。这样：过两条相交直线有且仅有一个平面。

  师：证明有的过程，称作证明存在性的过程。这样证明确定、有且仅有的问题，既要证明存在性（能找到一个），又要证明惟一性（可以证明其他在此平面内，或者假设还有一个证明二者重合）。

再看，过点A是不是能做一条直线与BC平行？

生：是。

师：平行线定义是说：在同一平面内两条无公共点的直线，由此你又能得到什么结论？

生：过两条平行直线有且仅有一个平面。

师：好！板书：过两条平行直线有且仅有一个平面。这个问题的证明留作作业。这样我们得到了确定平面的另外三个推论：（放映）

推论1：过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面

推论2：过两条相交直线有且仅有一个平面

推论3：过两条平行直线有且仅有一个平面。

它们的证明一般是先证明存在性，再用同一法证明惟一性。

∵A、B∈α，A、B∈l   ∴lα。假设还有一个平面β，由于过不在同一直线上的三点A、B、C有且仅有一个平面，故α与β重合。这样过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面。

     师：再接着看：

（生思考后，大多数加上了这样的内容：∵A、B∈α，A、B∈l   ∴lα）

师：这样完整了吗？

生：完整了呀！

师：再想想，有且只有是什么意思？只证出了有这个平面α，就算完了吗？还需要证明什么？

生：α惟一性。

师：好！怎么证明？

（生考虑后，假设还有一个平面β，由于过A、B、C三点有且仅有一个平面，故α与β重合）

师：好！这样完成了整个命题的证明过程。（放映证明）

证明：在直线l上任意取两个不同的点A、B，过A、B、C三点有且仅有一个平面α。

生：过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面。

师：好！这样得到一个结论：过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面（版书）。如何证明？

生：太简单了！在直线上取两个不同的点A、B，同第三个点C不就确定一个平面吗？

师：能写出证明过程吗？

（学生试着写，教师转后，将学生典型的写法放映）

在直线l上任意取两个不同的点A、B，过A、B、C三点有且仅有一个平面α。

师：完了吗？

（学生思考）

师：证明了直线l在平面α内了吗？要证又如何证明呢？

2、平面还有哪些基本性质和主要结论？（板书：平面的基本性质）

师：如公理三：过不在同一直线上的三点A、B、C有且仅有一个平面，A、B两个点可以确定一条直线，那么你能得到什么结论？

2、判断点在直线上

公理3

过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面

确定平面的依据

练习：教材22页2~5

1、判断两个平面相交

两个平面有一个公共点，则它们就有且仅有一条经过这个点的公共直线（A∈α，A∈βα∩β=l,A∈l）