II．设函数f(x)的图像关于直线x=x₀对称，证明x₀<

【解析】证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以

F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)．

当x∈(0，x₁)时，由于x₁<x₂，得(x－x₁)(x－x₂)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)>0，

（1997年全国理24）设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x₁,x₂满足0<x₁<x₂<． I．当x(0, x₁)时，证明x<f (x)<x₁；

【评析】该题无论从直接还是间接思路，都要进行三级分类讨论，体现为试题很难。难度为0.18，按照当年《考试说明》，难度低于0.2的，应该算作废题。结论：考查单一的知识与思想，层数不能超过三级。

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即⊥                     

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C，

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，

∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角为45°

【评析】以这种填空题形式出现，过多地限制了学生思维，出现了实际结果与预估难度非常大的反差。立体几何试题这样出不当；通过该题，也使近年立体几何的研究开始了降温。同时也使不少专家反省：高考试题与研究热点及竞赛试题还是当有区别的。同时，也确定了从1997年开始高考试题的进行量化评价。

（1997年全国理15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(    ) (A) 150种      (B) 147种     (C) 144种    (D) 141种

【解答】D

∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180°－∠D B₁A₁）=30°，

∴∵∠B₁A₁C₁=∠B₁ C₁A₁=60°，

∵∥，

∴，即

【解答】①∵面A₁EC⊥侧面AC₁， ②∵面ABC⊥侧面AC₁，   ③∵BE∥侧面AC₁

④∵BE∥AA₁，                 ⑤∵AF=FC，   

(Ⅱ)解：分别延长CE、C₁B₁交于点D，连结A₁D．

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)

(Ⅰ)证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵                                     

∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵                            

∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．

③ ∵                      

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，

④ ∵                            

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵                    

（1996年全国理22、文23）如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁． (Ⅰ)求证：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数．