8．(2014·无锡质检)已知P，Q为抛物线x²＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．

[解析]　因为y＝x²，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.

∴切线的方程为l₁：4x－y－8＝0，l₂：2x＋y＋2＝0，

将这两个方程联立方程组求得y＝－4.

[答案]　－4

7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y²＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．

[解析]　由条件知双曲线的焦点为(4,0)，

所以解得a＝2，b＝2，

故双曲线方程为－＝1.

[答案]　－＝1

二、填空题

6．已知l₁：2x＋my＋1＝0与l₂：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．

[解析]　由题意知，m≠0，则直线l₁的方程为：

y＝－x－，

∴解得m＝－.

[答案]　－

5．(2013·北京高考)直线l过抛物线C：x²＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　)

A.　 B．2　 C.　 D.

[解析]　

∵抛物线方程为x²＝4y，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x²的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2dx＝4－2·＝4－＝.

[答案]　C

4．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　)

A.　 B．2　 C．4　 D．8

[解析]　设C：－＝1.

∵抛物线y²＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，

∴|AB|＝2＝4，

∴a＝2，∴2a＝4.

∴C的实轴长为4.

[答案]　C

3．(2011·山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x²＋y²－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　)

A.－＝1　 　　　　　　　　　　　　 B.－＝1

C.－＝1　 　　　　　　　　　　　　 D.－＝1

[解析]　由x²＋y²－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2.

又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．

由直线与圆相切，得＝2，

即5b²＝4a²，①

因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a²＋b²，②

由①②联立，得a²＝5，b²＝4，

故所求双曲线方程为－＝1，选A.

[答案]　A

2．已知点M(，0)，椭圆＋y²＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为(　)

A．4　　B．8　　C．12　　D．16

[解析]　因为直线过椭圆的左焦点(－，0)，所以△ABM的周长为|AB|＋|AM|＋|BM|＝4a＝8，故选B.

[答案]　B

一、选择题

1．若直线ax＋by＝1过点M(cos α，sin α)，则(　)

A．a²＋b²≥1　　　　　 B．a²＋b²≤1

C.＋≤1　 　　　　　　　　　　　　　　　 D.＋≥1

[解析]　点M(cos α，sin α)在单位圆上，由直线ax＋by＝1过点M得≤1⇒≥1⇒a²＋b²≥1，故选A.

[答案]　A

3．(2013·湖南高考)某人在如图8所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

图8

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

[解]　(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．

因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，

P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，

所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．

记n_k为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n₁＝2，n₂＝4，n₃＝6，n₄＝3.

由P(X＝k)＝，得

P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

故所求Y的分布列为

因此，所求年收获量Y的期望为

E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46.

2．(2013·山东高考)执行如图7的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．

图7

[解析]　根据运行顺序计算出的值，当≤ε时输出n的值，结束程序．

由程序框图可知：

第一次运行：F₁＝1＋2＝3，F₀＝3－1＝2，n＝1＋1＝2，＝＞ε，不满足要求，继续运行；

第二次运行：F₁＝2＋3＝5，F₀＝5－2＝3，n＝2＋1＝3，＝＝0.2＜ε，满足条件．

结束运行，输出n＝3.

[答案]　3