5．(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)

已知的图象如右图

(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)说明的图象是由的图象经过怎样的变换得到?

解: ( 1) 由图知A= 4

由,得 所以由 ,得

所以,

　(2) ①由得图象向左平移单位得的图象

② 再由图象的横坐标缩短为原来得的图象

③由的图象纵坐标伸长为原来的4倍得的图象

综合拔高训练

4．若在区间上的最大值是，则=________　

解析：

3. 函数的图象如图，则的解析式和的值分别为(　　 )

　 A． ， 　　

　 B． ，

　 C． ，

　 D． ，

解析：B 　观察图形知，，只知 ，　 ， ， ，，且以4为周期， ，，

∴

　.

2．函数是上的偶函数，则的值是(　　 )

A　 　B　 　　C　 　　D　

解析：C　 当时，，而是偶函数

1．(广东省六校2009届高三第二次联考试)将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为(　　　 )．

A．　 　 B．　　 C． 　　 D．

解析：将函数的图象先向左平移

得，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍得选C

7.已知中，，，，

记，

(1)求关于的表达式；

(2)求的值域；

解：(1)由正弦定理有：；

　　∴，；

∴

(2)由；

∴；∴

★抢 分 频 道

基础巩固训练

6.某港口的水深(米)是时间(0≤≤24，单位：小时)的函数，下面是不同时间的水深数据：

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像．

(1)试根据以上数据，求出的表达式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4．5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略进出港所用的时间)?

［解析］(1)从拟合曲线可知：函数在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此．

　又当时，；时，；故

于是所求的函数表达式为了．

　(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4．5米,故在船舶航行时水

深应大于等于7+4．5＝11．5(米)．

令

故

取＝0，则1≤≤5；取＝1，则13≤≤17；而取＝2时，则25≤≤29(不合题意)．

从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港，而下午的17点(即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时．

5.已知函数(，)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为.

⑴求的解析式；

⑵若，求的值。

解析：⑴设最高点为，相邻的最低点为，则|x₁–x₂|=

∴，∴，∴………………………(3分)

∴， ∵是偶函数，∴，.

∵，∴，∴…………… (6分)

⑵∵，∴ ………………………………(8分)

∴原式

考点3　三角函数模型的简单应用

题型1. 形如的建模

［例1］(2006·广东模拟)如图某地夏天从8-14时用电量变化曲线近似满足函数．

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

[解题思路]在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在

［解析］(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．

(2)观察图像可知，从8-14时的图像是的半个周期的图像．

∴．

∵，∴，∴

将代入上式，解得

∴所求解析式为．

[名师指引]①将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．②利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．

题型2. 分析平面图形建立三角函数模型

［例2］如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，

,四边形的面积为

(Ⅰ)求的最大值及此时的值；

(Ⅱ)设点的坐标为，，

在(Ⅰ)的条件下，求

[解题思路]由单位圆联想到三角函数的定义

解析：(Ⅰ)由已知，，的坐标分别为

，

又

故的最大值的最大值是，此时

(Ⅱ)

[名师指引]分析实际问题时,若发现变量既与长度有关又与角度有关时,可考虑将变量设成角度.

题型3.利用三角与函数综合知识建立模型

例3. 如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值, 长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.

(Ⅰ)设,将表示成的函数关系式；

　 (Ⅱ)当为多长时,有最小值?最小值是多少?

[解题思路]由条件知需找到边与角的关系,分析图形建模.

解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()　 设正方形的边长为,则由,得,

解得,则

　 所以,则 　　(Ⅱ)因为,所以　 当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1

[名师指引]三角与函数综合知识建立模型是近两年高考的热点题型之一.

[新题导练]

4．若函数的图像(部分)如下图所示，则和的取值是(　　 )

A、　 　B、　 　 C、　 　D、

解析．C　 ［由解出即可］

3．函数的图像的两个相邻零点为和

，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为(　　 )

A、　　 　 B、

C、　　　 　D、

解析A． ［由图像的两个相邻零点为和得

，由最大值为2，最小值为－2知，又函数过点得，故，而，故，从而所求函数为]