19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|x²－3x+2＝0}，B＝{x|x²+2(a+1)x+(a²－5)＝0}.

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解：由x²－3x+2＝0得x＝1或x＝2，

故集合A＝{1,2}.

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，

得a²+4a+3＝0⇒a＝－1或a＝－3；

当a＝－1时，B＝{x|x²－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{x|x²－4x+4＝0}＝{2}，满足条件；

综上，a的值为－1或－3；

(2)对于集合B，

Δ＝4(a+1)²－4(a²－5)＝8(a+3).

∵A∪B＝A，∴B⊆A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，

则由根与系数的关系得

矛盾；

综上，a的取值范围是a≤－3.

20.(本小题满分12分)(2010·盐城模拟)命题p：实数x满足x²－4ax+3a²＜0，其中a＜0，命题q：实数x满足x²－x－6≤0或x²+2x－8＞0，且　 p是　 q的必要不充分条件，求a的取值范围.

解：设A＝{x|x²－4ax+3a²＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，

B＝{x|x²－x－6≤0或x²+2x－8＜0}

＝{x|x²－x－6＜0}∪{x|x²+2x－8＞0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.

因为　 p是　 q的必要不充分条件，

所以　 q⇒ 　p，且　 p推不出　 q而

∁_RB＝{x|－4≤x＜－2}，∁_RA＝{x|x≤3a，或x≥a}

所以{x|－4≤x＜－2} {x|x≤3a或x≥a}，

或

即－≤a＜0或a≤－4.

18.(本小题满分12分)判断下列命题的真假.

(1)∀x∈R，都有x²－x+1＞.

(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.

(4)∃x₀，y₀∈Z，使得x₀+y₀＝3.

解：(1)真命题，∵x²－x+1＝(x－)²+≥＞.

(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意.

(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.

(4)真命题，例如x₀＝0，y₀＝3符合题意.

17.(本小题满分12分)设集合A＝{－4,2a－1，a²}，B＝{9，a－5，1－a}，且A∩B＝{9}，求实数a的值.

解：因为A∩B＝{9}，所以9∈A.

若2a－1＝9，则a＝5，

此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾(舍去).

若a²＝9，则a＝±3.

当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾(舍去)；

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意.

综上所述，a＝－3.

9.(文)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≥0}，则A×B等于　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　)

A.(2，+∞)　 B.∪∪(2，+∞)

解析：由题意知，A∪B＝，所以A×B＝(2，+∞).

答案：A

(理)定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，设M＝{x||x|＜2}，N＝{x|x²－4x+3＜0}，则M⊗N表示的集合是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.(－∞，－2]∪∪∪(3，+∞)

解析：M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以M∩N＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|－2＜x＜3}，故M⊗N＝(－2，1]∪上的偶函数，且在上是增函数，θ∈(，)，则f(sinθ)＞f(cosθ)；

③在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；

④若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x+2，则f(1)+f′(1)＝3.其中所有正确命题的序号是　　.

解析：①存在α＝＞β＝，使tan＝tan＜tan，①正确；

②f(x)是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则在上是减函数，θ∈(，),1＞sinθ＞cosθ＞0，

∴f(sinθ)＜f(cosθ)，②错误；

③在△ABC中，A＞，则0＜sinA≤1.

sinA＞，则＞A＞，所以“A＞”是“sinA＞”的既必要不充分条件，③错误；

④函数y＝f(x)在点M(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝，M(1，f(1))是曲线上的点也是切线上的点，x＝1时，f(1)＝，∴f(1)+f′(1)＝3，④正确.

答案：①④

8.(2010·温州模拟)下列命题中，真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.∃x∈R，使得sinx+cosx＝2

B.∀x∈(0，π)，有sinx＞cosx

C.∃x∈R，使得x²+x＝－2

D.∀x∈(0，+∞)，有e^x＞1+x

解析：∵sinx+cosx＝sin(x+)≤，故A错；

当0＜x＜时，cosx＞sinx，故B错；

∵方程x²+x+2＝0无解，故C错误；

令f(x)＝e^x－x－1，则f′(x)＝e^x－1

又∵x∈(0，+∞)，∴f′(x)＝e^x－x－1在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0，

即e^x＞1+x，故D正确.

答案：D

7.同时满足①M⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有　　　　　 (　)

A.16个　 　　B.15个　　 C.7个　 　　　D.6个

解析：∵1+5＝2+4＝3+3＝6，∴集合M可能为单元素集：{3}；二元素集：{1,5}，{2,4}；三元素集：{1,3,5}，{2,3，4}；四元素集：{1,2,4,5}；五元素集：{1,2,3,4,5}.共7个.

答案：C

6.下列说法错误的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.命题：“已知f(x)是R上的增函数，若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)”的逆否命题为真命题

B.“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件

C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题

D.命题p：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则　 p：“∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

解析：A中∵a+b≥0，∴a≥－b.

又函数f(x)是R上的增函数，∴f(a)≥f(－b)，①

同理可得，f(b)≥f(－a)，②

由①+②，得f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，即原命题为真命题.

又原命题与其逆否命题是等价命题，

∴逆否命题为真.

若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，所以C错误.

答案：C

5.(文)设全集U是实数集R，M＝{x|x²＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，

则图中阴影部分表示的集合是　　　　　　　　　 (　)

A.{x|－2≤x＜1}　　　　 B.{x|1＜x≤2}

C.{x|－2≤x≤2}　　　　 D.{x|x＜2}

解析：阴影部分表示的集合为N∩∁_UM＝{x|1＜x≤2}.

答案：B

(理)设全集U＝R，集合A＝{x|2^x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，

则图中阴影部分表示的集合为　　　　　　　　　　 (　)

A.{x|x≥1}　　　　　 B.{x|x≤1}

C.{x|0＜x≤1} 　　　　 D.{x|1≤x＜2}

解析：由2^x(x－2)＜1得x(x－2)＜0，故集合A＝{x|0＜x＜2}，由1－x＞0得x＜1，故B＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}，所以∁_A(A∩B)＝{x|1≤x＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x＜2}.

答案：D

4.(2009·浙江高考)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　 (　)

A.充分而不必要条件　　　　 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件　　　　　 D.既不充分也不必要条件

解析：a>0，b>0时显然有a+b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a+b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立.

答案：C

3.命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.若a＞b，则a－1≤b－1　　 　B.若a≥b，则a－1＜b－1

C.若a≤b，则a－1≤b－1　　　 D.若a＜b，则a－1＜b－1

解析：即命题“若p，则q”的否命题是“若 p，则　 q”.

答案：C