3.若函数f(x)=的图象如下图所示，则m的范围是(　　 )

A.(-∞,-1)　　　　　　　　　　　　　　 B.(-1,2)

C.(1,2)　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(0,2)

答案：D

解析：解法一：排除法，若m≤0,则函数f(x)=的定义域不为R，与图象信息定义域为R不符，故排除掉A、B.取m=1,f(x)=,此函数当x=±1时，f(x)取得极值，与所给图形不符，排除C.选D.

解法二：显然f(x)为奇函数，又f(1)>0,f(-1)<0,即<0,解得-1<m<2.又f(x)取得最大值时，x=>1,

∴m>1,∴1<m<2.故选D.

2.将y=2^x的图象向左平移一个单位，得到图象C₁,再将C₁向上平移一个单位得到图象C₂，作出C₂关于直线y=x的对称图象C₃，则C₃的解析式为(　　 )

A.y=log₂(x-1)-1　　　　　　　　　　　　　 B.y=log₂(x+1)+1

C.y=log₂(x-1)+1　　　　　　　　　　　　　 D.y=log₂(x+1)-1

答案：A

解析：由题意知曲线C₁的解析式为y=2^x+1,C₂的解析式为y=2^x+1+1，又C₂与C₃关于直线y=x对称，

∴曲线C₃的解析式即为y=2^x+1+1的反函数，即所求解析式为y=log₂(x-1)-1.故应选A.

1.要得到函数y=2^1-2x的图象，只需将函数y=()^x的图象(　　 )

A.向左平移1个单位　　　　　　　　　　 B.向右平移1个单位

C.向左平移个单位　　　　　　　　　　 D.向右平移个单位

答案：D

解析：因y=2^1-2x=故选D.

14.(2010华师附中模拟，20)设函数f(x)=2^x+a·2^-x-1(a为实数).

(1)若a<0,用函数单调性定义证明：y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;

(2)若a=0,y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,求函数y=g(x)的解析式.

(1)证明：设任意实数x₁<x₂,则f(x₁)-f(x₂)=(+a·-1)-(+a·-1)　

=(-)+a(-)=(-)·.

∵x₁<x₂,

∴<,∴-<0.

∵a<0,∴+x₂-a>0.

又>0,∴f(x₁)-f(x₂)<0,

∴f(x)是增函数.

(2)解析：当a=0时,y=f(x)=2^x-1,

∴2^x=y+1,

∴x=log₂(y+1),

y=g(x)=log₂(x+1).

13.若某种型号的电视机降价x成(1成为10%)，那么出售数量就增加mx成(m∈R⁺).

(1)某商店的此种电视机的定价为每台a元，则可以出售b台，若经降价x成后，此种电视机营业额为y,试建立y与x的函数关系，并求当m=时，每台降价多少成其营业额最大？

(2)为使营业额增加，求m的取值范围.

解析：(1)由条件降价后的营业额为：

y=a(1-x)b(1+mx)=ab［-mx²+(m-1)x+1］,

∴当m=时，y=ab(-x²+x+1)

=ab［-(x-)²+］.

∴x=110时,y_max=ab.

即降价1成时，营业额最大.

(2)由条件:ab［-mx²+(m-1)x+1］>ab,(a、b∈R⁺),

∴mx²-(m-1)x<0(m>0,x>0).

∴>0,即m>1.

∴m>1时，营业额会增加.

12.(2010西北师大附中模拟，20)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n，满足f()=2,且f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x>-时,f(x)>0

(1)求f(-12)的值；

(2)求证：f(x)在定义域R上是单调递增?函数.

(1)解析：令m=n=0,得f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.又f()=2,

令m=,n=-,得f(-)=f()+f(-)-1，

∴f(-)=0.

(2)证明：设x₁，x₂∈R且x₁<x₂,则x₂-x₁>0,x₂-x₁->-，

当x>-时，f(x)>0,

∴f(x₂-x₁-)>0.

f(x₂)-f(x₁)

=f［(x₂-x₁)+x₁］-f(x₁)

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)

=f(x₂-x₁)-1

=f(x₂-x₁)+f(-)-1

=f(x₂-x₁-)>0,

因此，f(x)是增函数.

11.(2010四川成都一模，20)已知函数f(t)=log₂t,t∈［，8］.

(1)求f(t)的值域G；

(2)若对于G内的所有实数x,不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.

解析：(1)∵f(t)=log₂t在t∈［，8］上是单调递增的,

∴log₂≤log₂t≤log₂8,

即≤f(t)≤3.

∴f(t)的值域G为［，3］.

(2)由题知-x²+2mx-m²+2m≤1在x∈［，3］上恒成立x²-2mx+m²-2m+1≥0在x∈［,3］上恒成立.

令g(x)=x²-2mx+m²-2m+1,x∈［，3］.

只需g_min(x)≥0即可.

而g(x)=(x-m)²-2m+1,x∈［，3］.

①当m≤时,g_min(x)=g()=-3m+m²+1≥0.

∴4m²-12m+5≥0.

解得m≥或m≤.

∴m≤.

②当<m<3时，g_min(x)=g(m)=-2m+1≥0，解得m≤.

这与<m<3矛盾.

③当m≥3时,g_min(x)=g(3)=10+m²-8m≥0，

解得m≥4+或m≤4-.

而m≥3,∴m≥4+.

综上，实数m的取值范围是(-∞,)∪［4+，+∞］.

10.已知函数f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a²)<0,则a的取值范围是_______________.

答案：1<a<

解析：∵f(x)为奇函数，且在(-1，1)上是增函数.

由f(1-a)+f(1-a²)<0得f(1-a)<f(a²-1).

∴解得1<a<.

9.设f(x)=,那么f()+f()+…+f()的值为________________.

答案：5

解析：∵f(x)= ,

∴易得f()+f(1-)=1(1≤k≤10),f()+f()=1,…，f()+f()=1.

∴原式=5.

8.新华高科技股份公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，现有6个项目可供选择(每个项目或者全部投资、或者不投资)各项目投资金额和预计年收入如下所示：

如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1.6千万元，那么为使投资收益最大，应选投资的项目是___________(填入项目代号).

答案：A,B,E

解析：当投资为13亿元时，有以下三种方案投资：f(A,F)=0.55+1=1.55;f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9

=1.85;f(A,B,C)=1.55,故投资A，B，E.