12．(2010·南通模拟)已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+c在x＝－与x＝1时都取得极值，
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．
解：(1)f(x)＝x3+ax2+bx+c，f′(x)＝3x2+2ax+b，
由f′(－)＝－a+b＝0，f′(1)＝3+2a+b＝0得a＝－，b＝－2，
f′(x)＝3x2－x－2＝(3x+2)(x－1)，函数f(x)的单调区间如下表：
|
x |
(－∞，－) |
－ |
(－，1) |
1 |
(1，+∞) |
|
f′(x) |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
f(x) |
 ? |
极大值 |
? |
极小值 |
? |
所以函数f(x)的递增区间是(－∞，－)与(1，+∞)，递减区间(－，1)；
(2)f(x)＝x3－x2－2x+c，x∈，当x＝－时，f(－)＝+c为极大值，而f(2)＝2+c，则f(2)＝2+c为最大值，要使f(x)＜c2，x∈恒成立，则只需要c2＞f(2)＝2+c，得c＜－1，或c＞2.
8．(文)已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x＝时，y＝f(x)有极值，
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3+ax2+bx+c，得
f′(x)＝3x2+2ax+b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a+b＝0. ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，可得
4a+3b+4＝0. ②
由①②解得a＝2，b＝－4.
设切线l的方程为y＝3x+m.
由原点到切线l的距离为，则＝，
解得m＝±1.
∵切线l不过第四象限，∴m＝1.
由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.
∴1+a+b+c＝4，∴c＝5；
(2)由(1)可得f(x)＝x3+2x2－4x+5，
∴f′(x)＝3x2+4x－4.
令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝.
f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
|
x |
[－3，－2) |
－2 |
(－2，) |
|
(，1] |
|
f′(x) |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
f(x) |
? |
极大值 |
? |
极小值 |
? |
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，
在x＝处取得极小值f()＝.
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在上的最大值为13，最小值为.
(理)已知函数f(x)＝x3+2bx2+cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)+mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．
解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f(2)＝0，
即4b+c+3＝0. ①
f′(x)＝3x2+4bx+c，由已知，f′(2)＝12+8b+c＝5.
得8b+c+7＝0. ②
联立①、②，解得c＝1，b＝－1，
于是函数解析式为f(x)＝x3－2x2+x－2.
(2)g(x)＝x3－2x2+x－2+mx，
g′(x)＝3x2－4x+1+，令g′(x)＝0.
当函数有极值时，Δ≥0，方程3x2－4x+1+＝0有实根，
由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.
①当m＝1时，g′(x)＝0有实根x＝，在x＝左右两侧均有g′(x)＞0，故函数g(x)无极值．
②当m＜1时，g′(x)＝0有两个实根，
x1＝(2－)，x2＝(2+)，
当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：
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x |
(－∞，x1) |
x1 |
(x1，x2) |
x2 |
(x2，+∞) |
|
g′(x) |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
g(x) |
? |
极大值 |
? |
极小值 |
? |
故在m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值；
当x＝(2－)时g(x)有极大值；
当x＝(2+)时g(x)有极小值．
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题组三 |
导数的综合应用 |