试卷类型：A
2009年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率
是
，那么
次独立重复试验中事件 其中表示球的半径
恰好发生
次的概率
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
的反函数为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在等差数列
中，
，则此数列的前13项的和等于（ ）
A．13 B．
4．复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
5．已知正三棱锥中，一条侧棱与底面所成的角为
，则一个侧面与底面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
的图象关于点
对称，则函数
一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
7．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各一名的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．过圆
上一点
作切线与
轴，
轴的正半轴交于
、
两点，则
的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
9．某市学生的高考成绩
服从正态分布，平均成绩
，方差为
，若全市高考录取率为
，则录取分数线为(已知
) （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设动直线
与函数
和
的图象分别交于
、
两点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．双曲线
的左准线为
，左焦点和右焦点分别为
、
，抛物线
的准线为，焦点为，
与的一个交点为，线段
的中点为，
是坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若对于任意的实数，都
，则实数
的值为 ．
14．若棱长为的正方体
的八个顶点都在球的表面上，则，
两点之间的球面距离为
．
15．函数
的最小值是
．
16．给出以下四个命题：
①函数
的最小值为2；
②在数列中，
，
是其前
项和，且满足
，则数列是等比数列；
③若
，则函数是以4为周期的周期函数；
④若函数
的图象关于点
对称，则的值为
．
则正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
18．(本小题满分12分)
在
中，
，
．
(Ⅰ)求
；
(11)设的外心为，若
，求
，的值．
19．(本小题满分12分)
在四棱锥
中，底面
是
边长为2的菱形，
，
，
，
是
的中点．
(Ⅰ)证明：
平面；
(Ⅱ)求二面角
的大小．
(Ⅲ)设
是直线
上的动点，求点到平面
的最大距离．
20．(本小题满分12分)
已知函数
．
(I)求的单调区间；
(Ⅱ)若存在实数
，使得
成立，求实数的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知两点和分别在直线
和
上运动，且
，动点满足：
(为坐标原点)，点的轨迹记为曲线
．
(Ⅰ)求曲线的方程，并讨论曲线的类型；
(Ⅱ)过点
作直线与曲线交于不同的两点、，若对于任意
，都有
为锐角，求直线的斜率
的取值范围．
22．(本小题满分12分)
在数列中，，且
．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令
，数列
的前项和为，试比较
与的大小；
(Ⅲ)令
，数列
的前项和为
，求证：对任意
都有
2009石家庄市高三第一次模拟考试
数学理科答案
一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.A 2. B 3. A 4. B 5.D 6.A
7. B 8.A 9. C 10. D 11.B 12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．
14．
15． 1 16．③ ，④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（小时）
,………………………7分
.…………………………………9分
18．(本题12分)
解: (Ⅰ)由余弦定理知:
,………2分
.……………5分
(Ⅱ)由
,
知
…………………………………7分
为的外心，
.
同理
.………………………………10分
即
， 解得:
……12分
19．(本题12分)
（Ⅰ）取
的中点，连结
，
.
四边形
为菱形,
,
则
……………2分
.
同理
故
.……………………4分
（或用同一法可证）
（Ⅱ）先求二面角
的大小
取
的中点
，
过作
于点，
连结
.
则
，
是二面角的平面角，……6分
可求得
，
又
所以二面角
的大小为
.……………………8分
法二: 过作
交
于，
以为坐标原点，直线、、
分别为
轴，
建立空间直角坐标系
.
则（0，0，0），
，
（0，0，2），
.
,
.…………………6分
设平面
的法向量为
，
则
取
=
则
.
设平面
的法向量为
，
则
取
，
则
.
＜
，
＞=
，
二面角的大小为
.……………………8分
（Ⅲ）先求点到平面
的最大距离.
点到直线
的距离即为点到平面的距离. ……10分
过作直线的垂线段,在所有的垂线段中长度最大为
.
为的中点,
故点到平面的最大距离为1.
……………………12分
20.(本题12分)
解：（Ⅰ）
（?）当
时, 
的单调递增区间是(
).……………………2分
(?) 当
时,令
得
当
时，
当
时，
的单调递减区间是(
)，
的单调递增区间是 (
).……………………5分
(Ⅱ),
,
.
设
若存在实数,使得成立,
则
……………………8分
解得
得
,
当
时, 
当
时, 
在
上是减函数,在
上是增函数. …………………10分
的取值范围是(
).…………………………………………………12分
21．(本题12分)
（I）由
，得是
的中点. …………2分
设
依题意得:
消去
，整理得
．
当
时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆． ……………………………5分
（II）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，
直线斜率不存在时不符合题意；
可设直线的方程为
，直线与椭圆交点
.
.………………7分
要使为锐角，只需
.………………9分
即
，
可得
，对于任意恒成立.
而
，
所以的取值范围是
.………………12分
22(本题12分)
解:(Ⅰ)
，………………1分
，
即
(
).………………3分
（II）
，
.
猜想当
时，
.………………4分
下面用数学归纳法证明:
①当
时，由上可知
成立；
②假设
时，上式成立，即
.
当
时，
所以当时成立.
由①②可知当
时,. ………………7分
综上所述当
时, 
;
当
时, 
;
当时,. ………………8分
（III）
当
时，
所以
＋
.………………12分