Question

3．如图所示，长为l的轻质细线固定在O点，细线的下端系住质量为m、电荷量为+q的小球，小球的最低点距水平面的高度为h，在小球最低点与水平面之间高为h的空间内分布着场强为E的水平向右的匀强电场，固定点O的正下方$\frac{l}{2}$处有一小钉子P，现将小球从细线处于水平状态由静止释放．求：
（1）细线在刚要接触小钉子P和细线刚接触到小钉子P时，细线的拉力之比为多少？
（2）若细线在刚接触到小钉子P时断开，小球运动到水平面时的动能为多大？

Answer 1

分析 （1）小球从开始向下摆动的过程，由机械能守恒定律求细线在刚要接触小钉子P时小球的速度，根据牛顿第二定律分别求出细线接触钉子P前后的拉力大小，即可求得比例关系；
（2）细线断开后小球在竖直方向做自由落体运动，由在水平方向上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和位移公式结合求出小球水平方向运动的距离，进而由动能定理求解小球运动到水平面时的动能．

解答 解：（1）小球从开始向下摆动的过程，由机械能守恒有：
$mgl=\frac{1}{2}m{v^2}$
细线刚要接触P时，细线拉力设为T₁．
由牛顿第二定律有：${T_1}-mg=m\frac{v^2}{l}$
得：T₁=3mg
同理可得刚接触到P点时，拉力T₂，由牛顿第二定律，有：${T_2}-mg=m\frac{v^2}{{\frac{l}{2}}}$
得：T₂=5mg
则拉力之比为：$\frac{T_1}{T_2}=\frac{3}{5}$
（2）细线断开后小球在竖直方向上做自由落体运动，运动时间为：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
小球在水平方向上做匀加速直线运动，运动距离为：$x=vt+\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t^2}$
小球运动到水平面时的动能由动能定理得：$mgh+qEx={E_k}-\frac{1}{2}m{v^2}$
可解得：${E_k}=mgh+mgl+\frac{{{q^2}{E^2}h}}{m}$
答：（1）细线在刚要接触小钉子P和细线刚接触到小钉子P时，细线的拉力之比为3；5．
（2）若细线在刚接触到小钉子P时断开，小球运动到水平面时的动能为mgh+mgl+$\frac{{q}^{2}{E}^{2}h}{m}$．

点评 本题要求同学们能正确的对物体进行受力分析，并能联想到已学的物理模型，根据相关公式解题．知道涉及力在空间效果时，优先考虑动能定理或机械能守恒定律．