Question

18．CDE是固定在绝缘水平面上的光滑金属导轨，CD=DE=L，∠CDE=60°，如图甲所示．CD和DE单位长度的电阻均为r₀，导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．一根金属杆MN（长度大于L，材料与粗细与CDE相同）在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上匀速滑行．MN在滑行的过程中始终与CDE接触良好，并且与C、E所确定的直线平行，以MN在D点时开始计时．

（1）求MN滑行到C、E两点时，C、D两点间的电势差U_CD；
（2）推导MN在CDE上滑行的过程中，回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式；
（3）在运动学中我们学过：通过物体运动速度和时间的关系图线（v-t图）可以求出物体运动的位移x，如图乙中物体在0～t₀时间内的位移在数值上等于梯形Ov₀Pt₀的面积．通过类比我们可以知道：如果画出力与位移的关系图线（F-x图），也可以通过图线求出力对物体所做的功．请你推导MN在CDE上滑动过程中，MN所受安培力F与MN的位移x的关系表达式，并用F与x的关系图线求出MN在CDE上滑行的整个过程中，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热．

Answer 1

分析 MN切割磁感线，运用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，应用闭合电路欧姆定律求出C、D两点电势差的大小；
设MN运动时间为t，滑出位置图象，根据几何关系求出回路的长度和电阻．再求出回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式；
从安培力的表达式出发求出安培力与位移的关系，通过关系表达式画出F-x图，从而求出功，根据能量的转化和守恒定律求出回路所产生的焦耳热．

解答 解：（1）MN滑行到C、E两点时，在回路中的长度等于L，此时回路中的感应电动势E=BLv₀
由于MN的电阻忽略不计，CD和DE的电阻相等，
所以C、D两点电势差的大小为：U=$\frac{1}{2}$E=$\frac{1}{2}$BLv₀
（2）设经过时间t运动到如图所示位置，

此时杆在回路中的长度l=2v₀ttan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀t    
电动势E=Blv₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bv₀²t  
（3）在第（2）题图示位置时，回路中的电阻R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$r₀v₀t    
回路中的电流I=$\frac{B{v}_{0}}{2{r}_{0}}$，即回路中的电流为一常量．
此时安培力的大小F_安=BIL=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}^{2}}{3{r}_{0}}$t
由于MN在CDE上滑动时的位移x=v₀t
所以F_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3{r}_{0}}$x
所以安培力的大小随位移变化的图线（F_安-x图）如图所示，

所以MN在CDE上的整个滑行过程中，安培力所做的功为：W_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$
根据能量的转化和守恒定律，回路中产生的焦耳热Q等于安培力所做的功，即：Q=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$
答：（1）MN滑行到C、E两点时，C、D两点电势差的大小为$\frac{1}{2}$BLv₀ ；
（2）回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式为E=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bv₀²t；  
（3）MN所受安培力F_安与MN的位移x的关系表达式F_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3{r}_{0}}$x，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热为$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$．

点评 关于回路中电阻要看清题目，有的导轨计电阻，有的不计．根据物理规律求出物理量之间的关系，从而画出图象．