Question

16．如图甲所示，在xOy平面的第三象限内有一个粒子发射装置S，它可以向第一象限0°～90°范围内的不同方向发射速率为v₀=1.0×10³m/s，比荷为$\frac{q}{m}$=1×10⁵C/kg的大量带负电粒子．现在x轴上方的某区域内加一个匀强磁场，使所有粒子经过磁场后能在0≤y≤0.1m的范围内沿x轴正向运动．粒子越过磁场区域后进入一个由平行板电容器MN所产生的正方形电场区域，电容器两极板上的电压随时间变化的图象如图乙所示，已知电容器的左右两端位于x₁=0.15m，x₂=0.25m处，上下两端位于y₁=0.1m、y₂=0m处，在x=0.3m处有一个平行于y轴的荧屏L，粒子打到荧光屏后能够发光．若所有粒子的运动轨迹都在一行于纸面的平面内，且不计粒子的重力、粒子间的相互作用及粒子落在极板和荧光屏上对电压的影响．求：

（1）偏转磁场的感应强度；
（2）偏转磁场在图中坐标系中分布的最小面积（结果保留两位有效数字）；
（3）电容器两极板间有电压和无电压时荧光屏上平行于y轴方向发光长度的比值．

Answer 1

分析 此题比较含蓄，磁场区域、粒子运动轨迹未知，偏转电场又是变化的，所以要从一些特殊情况从发进行分析．
（1）所有粒子经过磁场后能在0≤y≤0.1m的范围内沿x轴正向运动，所以从特殊情况----沿y轴方向射入的粒子考虑：经过磁场后能在该范围内水平射入平行板，则粒子做圆周运动的半径为r=0.1m，且圆心在x轴上．这样由洛仑兹力提供向心力就可求出磁感应强度B．
（2）磁场区域的上边界显然就是沿y轴正方向射入时，在磁场中的运动轨迹，下边界就要从任意角度去考虑，可以从离开磁场速度方向水平向右出发，这点即是粒子的圆周运动上的点，同时又是磁场的下边界，通过数学关系求出该点的轨迹方程，从而确定最小面积．
（3）至于粒子进入偏转电场后，有电压做类平抛运动，无电压做直线运动，根据曲线运动规律可以求出和光长度的比值．

解答 解：（1）粒子沿y轴正方向射入第一象限后，都能平行于x轴射出，在磁场中转动90°的圆心角，其圆心在x轴上，圆的半径为
r=0.1m     ①
由洛仑兹力提供向心力则有：
$Bq{v}_{0}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$      ②
所以：$B=\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{1×1{0}^{3}}{0.1×1×1{0}^{5}}T=0.1T$
（2）设粒子以任意夹角射入，经磁场作用后能从点P（x，y）离开磁场并沿x轴正方向运动，其圆心为Q，由几何关系可知P点的轨迹方程为：
x²+（r-y）²=r²    ③
由轨迹方程可知：磁场下边界是圆心在（0，r）半径也为r的1/4圆弧．磁场区域如图中阴影面积所示，由图可知磁场的最小面积为
$S=2（\frac{π{r}^{2}}{4}-\frac{{r}^{2}}{2}）$     ④
即$S=\frac{π-2}{200}{m}^{2}=5.7×1{0}^{-3}{m}^{2}$
（3）当极板电压U_MN=0 的半个周期内，板间无电场，粒子直线运动打到荧光屏上，屏上发光长度
Y₁=r=0.1m     ⑤
加上电压后，粒子垂直进入电场区域做类平抛运动，沿x轴方向有：
$t=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{v}_{0}}=1{0}^{-4}s$      ⑥
沿y轴方向上的侧向位移：
$△y=\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}×{t}^{2}$     代入得△y=0.05m         ⑦
由粒子的侧向位移可知，从y=0.05m处射出的粒子恰好沿上边缘飞出，其上方的粒子将打在极板上．
飞出电场后的粒子做匀速直线运动，到达荧光屏，由平行四边形的边角关系可知，屏上发光的长度：
y₂=△Y=0.05m      ⑧
由于粒子穿过电场区域的时间t远小于电压的变化周期，因此是否加电压，屏上发光的部分不会因视觉暂留而影响．
故屏上发光部分的长度之比为：
$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{1}{2}$          ⑨
答：（1）偏转磁场的感应强度为0.1T．
（2）偏转磁场在图中坐标系中分布的最小面积为5.7×10^-3m²．
（3）电容器两极板间有电压和无电压时荧光屏上平行于y轴方向发光长度的比值为1：2．

点评 本题涉及的问题是带电粒子先在磁场中做圆周运动，再进入电场做类平抛运动，难点在于进入磁场的粒子方向未知，所以运动轨迹不定．重点是从磁场区域离开后粒子的速度方向水平，这样可以从粒子圆周运动的轨迹从而确定磁场区域的最小面积．至于进入电场后的运动，按平抛运动规律处理即可．