Question

16．某同学在地面上从玩具枪中竖直向上射出初速度为v₀、质量为m的塑料小球．若小球运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，小球运动的速率随时间变化的规律如图所示，t₁时刻到达最高点，再落回地面，落地速率为v₁，已知重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　）

• A． 小球下降过程中的平均速度大于$\frac{{v}_{1}}{2}$
• B． 小球上升过程中空气阻力的冲量大小为mv₀
• C． 小球上升过程中克服阻力所做的功是$\frac{1}{2}$mv₀²-mg（$\frac{1}{2}$v₀t₁）
• D． 小球在上升过程中的加速度始终小于下降过程中的加速度

Answer 1

分析 由速度图象的“面积”表示位移来分析它与匀变速直线运动平均速度的关系．
根据动量定理分析空气阻力的冲量；
根据功能关系分析空气的阻力做的功；
由小球受到的空气阻力与速率成正比，根据牛顿第二定律分析上升和下降阶段的加速度关系．

解答 解：A、下降过程若是匀加速直线运动，其平均速度为$\frac{{v}_{1}}{2}$，而从图中可以看出其面积大于匀加速直线运动的面积，即小球实际下降的位移大于做匀加速下降的位移，而平均速度等于位移与时间之比，故其平均速度大于匀加速运动的平均速度，即大于$\frac{{v}_{1}}{2}$．故A正确．
B、小球上升的过程中动量的变化是mv₀，根据动量定理可知，小球上升过程中空气阻力的冲量与重力的冲量的和的大小为mv₀．故B错误．
C、上升过程若是匀减速直线运动，其平均速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，而从图中可以看出其面积小于匀减速直线运动的面积，即小球实际上升的位移小于做匀减速上升的位移，而平均速度等于位移与时间之比，故其平均速度小于匀减速运动的平均速度，即小于$\frac{{v}_{0}}{2}$．
所以小球上升的高度小于$\frac{1}{2}{v}_{0}{t}_{1}$．
根据动能定理可知小球上升过程中克服阻力所做的功大于$\frac{1}{2}$mv₀²-mg（$\frac{1}{2}$v₀t₁）．故C错误．
D、小球抛出时，根据牛顿第二定律得：mg+kv=ma，此时速率最大，可知此时的加速度最大，到最高点时，v=0，加速度最小为g；下降过程有：mg-kv=ma，可知小球开始下降时的加速度最大，v增大，a减小；所以小球在上升过程中的加速度始终大于下降过程中的加速度，故D错误．
故选：A

点评 本题关键是受力分析，只有分析好小球的受力，判断出小球加速度的变化情况，利用的面积表示位移，平均速度等于位移比时间分析平均速度．