Question

15．宇航员将一小球从某星球表面上方h高处由静止释放，小球经时间t落到星球表面．已知该星球的半径为R，且h＜＜R，引力常量为G，小球下落时的阻力不计．求：
（1）该星球表面的重力加速度g的大小；
（2）该星球的质量M；
（3）该星球的第一宇宙速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出星球表面的重力加速度；　
（2）根据星球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和星球半径可以求出星球的质量M；　
（3）飞行器靠近星球表面飞行时，飞行器所受星球万有引力提供星球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小．

解答 解：（1）小球下落的过程中有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
解得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）设物体质量为m，星球对它的引力等于其重力，有：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得星球质量：
M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（3）由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
解得该星球的第一宇宙速度：v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
答：（1）该星球表面的重力加速度g的大小为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）该星球的质量M为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（3）该星球的第一宇宙速度v的大小为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$．

点评 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v．