Question

20．竖直平面内有一直角形内径相同的细玻璃管，A端封闭，C端开口，最初AB段处于水平状态，中间有一段水银将气体封闭在A端，各部分尺寸如图所示，外界大气压强p₀=75cmHg．
（1）若从右侧缓慢注入一定量的水银，可使封闭气体的长度减小为20cm，需要注入水银的总长度为多少？
（2）若将玻璃管绕经过A点的水平轴顺时针转动90°，当AB段处于竖直、BC段处于水平位置时，封闭气体的长度变为多少？

Answer 1

分析 （1）根据玻意耳定律求出末态气体的压强，求出竖直管中水银柱高度，再根据几何关系求注入水银的总长度
（2）转动90°后，根据玻意耳定律求管中水银长度，根据几何关系求封闭气体的长度．

解答 解：（1）由玻意耳定律${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={P}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$，
得到$（{p}_{0}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}）•{L}_{1}^{\;}S={p}_{2}^{\;}•{L}_{2}^{\;}S$
解得p₂=125cmHg
根据 ${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+{h}_{2}^{\;}$
右侧水银总高度h₂=50cm
注入水银的总长度为（h₂-h₁）+（L₁-L₂）=30cm
（2）设顺时针转动90°后，水银未溢出，且AB部分留有x长度的水银，
玻意耳定律：$（{p}_{0}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}）•{L}_{1}^{\;}S=（{p}_{0}^{\;}-x）•（{L}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{\;}-x）S$
代入数据，得到（75+25）×25S=（75-x）×（25+25-x）S
变形为x²-125x+1250=0
解得$x=\frac{125±25\sqrt{17}}{2}$＞0，假设成立！
$x=\frac{125+25\sqrt{17}}{2}$不合题意，舍去．
末态气体长度${L}_{3}^{\;}={L}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{\;}-x=39.04cm$
答：（1）需要注入水银的总长度30cm
（2）封闭气体的长度变为39.04cm

点评 本题关键是求解出封闭气体压强，根据几何关系求气体的体积，然后根据玻意耳定律多次列式求解．