Question

12．宇航员驾驶宇宙飞船到达周围空间没有大气层的某星球表面附近后，调整好飞船姿态后在靠近该星球表面的近体园轨道匀速运行一周，测出运行周期为T；紧接着宇航员调整并使之安全着陆在该星球表面上，宇航员离开飞船站在该星球表面上，在离该星球表面某一高度处将一小球以初速度v₀水平抛出，测出其水平射程为s．已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球的质量M；
（2）小球开始抛出时离地的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求得星球的质量
（2）根据星球表面重力等于万有引力和平抛运动的规律联立求解

解答 解：（1）飞船绕该星球做近体运行，星球对飞船的万有引力提供向心力，有：
$G\frac{M{m}_{飞}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{飞}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得该星球的质量为：
$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）小球做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，有：
$s={v}_{0}^{\;}t$
竖直方向上做自由落体运动，有：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
在该星球表面，小球受到该星球的万有引力近似等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
小球开始抛出时离地的高度为：
$h=\frac{2{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R•\frac{{s}_{\;}^{2}}{{v}_{0}^{2}}=\frac{2R{π}_{\;}^{2}{s}_{\;}^{2}}{{v}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）该星球的质量M为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）小球开始抛出时离地的高度h为$\frac{2R{π}_{\;}^{2}{s}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$

点评 本题考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用，难度适中．