Question

13．在半径R=5000km的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由斜轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出F随H的变化关系如图乙所示．求：

（1）圆轨道的半径；
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出到达C点的速度，结合牛顿第二定律求出弹力F随H的表达式，结合图线求出圆轨道的半径，以及星球表面的重力加速度．
（2）求出星球的近地卫星的速度即第一宇宙速度

解答 解：（1）小球经过C点时，受到重力和轨道的支持力，根据牛顿第二定律有：$mg+F=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$…①
根据动能定理有：$mg（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$…②
联立①②得：$F=\frac{2mg}{R}H-5mg$
由题知m=0.2
$F=\frac{0.4g}{R}H-g$
在图线上任取两点（0.5m，o）（1.0m，5N）代入上式，得：$0=\frac{0.4g}{R}×0.5-g$
$5=\frac{0.4g}{R}×1-g$
解得：R=0.2m
$g=5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）星球的第一宇宙速度，即星球的近地卫星的速度，重力提供向心力，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5×5×1{0}_{\;}^{6}}=5×1{0}_{\;}^{3}m/s$
答：（1）圆轨道的半径0.2m；
（2）该星球的第一宇宙速度$5×1{0}_{\;}^{3}m/s$

点评 本题是牛顿运动定律与动能定理的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．结合表达式分析求解．